КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
теоремы 3.1 будут более важными, чем эти качественные утверждения.
Произвольное минимальное решение и мы связали с вектором вращения а, и
теперь будем обозначать через Ж(а) множество всех минимальных решений без
самопересечений, принадлежащих вектору вращения а. Кроме того, для А > 0
положим
Ж а = [J Ж\а\, Ж = УJ Ж\а\.
абК"
В Ж используется топология С1 на компактных множествах.
Следствие 3.3. Множество Ж аявляется компактным относительно топологии С1
на компактных множествах в Ж(tm). Другими словами, любая последовательность
и^ ? Ж а обладает подпоследовательностью, например , и целым числом ки,
для которого - kv сходится вместе с первыми производными равномерно на
любом компактном множестве к функции и* ? Ж а-
Доказательство.
Это немедленно получается из следствия (3.2). Заменив на и^+целое число,
можно предположить, что 0 ^ m(s)(0) < 1. Так как для и? Ж а вектор
вращения удовлетворяет |a^s^| ^ А, можно взять подпоследовательность, для
которой сходится к вектору а*, и по теореме Арцела-Асколи для любого
замкнутого шара = {х ? Ж(tm), |ж| ^ ц], существует такая последовательность
s = = " ос, что исходится в при v -\ ос. Таким образом
диагональная последовательность и^ для s = sсходится в данной топологии к
функции и* ? С'1(МП).
Если бы и* не являлась минималью, тогда существовало бы <Р е Ясотр(Ж")
ТаКОе' ЧТ0
1в(и* + ф) < 1в(и*), где Iq(u) = / F(x, и, ux)dx,
п
§3. Компактность множества минимальных решений 353
где В - замкнутый шар, содержащий supp ip. Если обозначает ранее
упомянутую подпоследовательность, сходящуюся к и*, тогда
IB(u{s) + p) ^Ib(u{s)),
т.к. и? Ж. Поскольку и^ ->¦ и* в С1 (В), то
1в(и(s) + ф) ->• 1в (и* + ф)
по теореме о доминантной сходимости. Т.к. также 1в(и^)^1в(и*), можно
сделать вывод, что 1в{и* + <р) ^ 1в(и*). Это противоречит ранее
указанному. Следовательно, и* является минимальным решением. У него также
нет самопересечений. На самом деле, для любого j Е Zra+1
tju^ - иW = и{8\х + j) - jn+1 - Ф8\х)
либо больше нуля, либо меньше нуля, либо тождественно равно нулю и, таким
образом,
- и* ^ 0 или ^ 0.
В следующем параграфе в лемме 4.2 мы покажем, что это влечет tju* - и* >
0, или < 0, или = 0,
т. е. и* ? Ж.
Чтобы показать, что и* ? Жа, докажем, что а* = lim а^ явля-
8-ЮС
ется вектором вращения для и*. Это вытекает из следующей леммы. Лемма
3.4. Функция
а: Ж а -^
сопоставляющая и ? Ж его вектор вращения а = а(и) является непрерывной в
равномерной топологии на всех компактных множествах Ж", а, следовательно,
тем более в ранее упомянутой топологии С1-сходимости на компактных
множествах.
Доказательство.
Пусть и, v ? Ж а с векторами вращения а, (3 соответственно. Положим w = v
- и и '~f = [3 - а так, что по теореме 3.1
|w(x) - w(0) - 7 • х\ ^ с* • А,
следовательно,
354 Минимальные решения вариационных задач на торе
Правую часть можно сделать меньше, чем 2е, если сначала выбрать R
настолько большим, что с*ART1 < е, и затем для фиксированного R уменьшить
второе слагаемое. Таким образом, лемма 3.4 и следствие 3.3 доказаны.
Рассмотрим два минимальных решения и, v и изучим возможность их
пересечения в Ж(tm), т.е. точки х, где и(х) = v(x). Очевидно, если а(и) ф
a(v), то по теореме 2.1 и - v меняет знак и и, v пересекаются.
Теорема 4.1. Если и, v ? Ж, тогда открытое множество {х ? Ж", и(х) <
v(x)} не имеет ограниченных компонент.
Доказательство.
Пусть V такая ограниченная компонента. Тогда
v в V,
такая, что ip = и - и ? W1,2, supp ip С V. Следовательно,
Iv(v) = Iv(u + ip) ф Iv(u), Iv(u) = Iv(v - ip) ф Iv(v),
т.е. Iv(u) = Iv(v) = Iv(u). Таким образом, для любого открытого множества
W, содержащего У,
т.е. й также минималь. Как показывает следующая лемма, из того, что и, й
? Ж. и фй следует, что либо и = й, либо и < й в Мга. Следовательно, и < й
в и V = К(tm), что противоречит ограниченности V. Ш
Лемма 4.2. Если и, v ? Ж, и ф v, то либо и = v, либо и < v.
Доказательство.
Доказательство следует из сильного принципа максимума для эллиптических
дифференциальных уравнений в частных производных.
§ 4. Пары минимальных решений
и иначе,
Iw(u) - Iw(u),
§4. Пары минимальных решений
355
Положим
w(x) = v(x) - и(х) ^ О и допустим, что в некоторой точке х* имеем w(x*) =
0. Тогда w имеет абсолютный минимум, w является решением эллиптического
дифференциального уравнения в частных производных
П
/ J U W3 Ux H- Wx) -^Pv ".))
с непрерывными коэффициентами. Из принципа максимума (см. приложение к §
4) следует, что w = 0. Поэтому либо w > 0, либо w = 0. ¦
Есть более сильный результат, показывающий, что для двух минималей,
которые не пересекаются в Мга, разность |и(х) - v(x) \ имеет одну и ту же
величину для всех х, если х остается в ограниченной области, например 3Q.
Теорема 4.3. Если и, v ? Ж а и и < v в 4 Q, тогда существует
положительная константа 7, зависящая только от с, 8 и А, такая, что
Из этого следует, что
sup(i>(a;) - и(х)) = Д+ < 00, inf(r(a;) - и{х)) = Д_ > 0 3Q 3<5
и Д+ ^ 7Д_.
