Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мозер Ю. -> "КАМ-теория и проблемы устойчивости" -> 109

КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.

Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости — И.: НИЦ, 2001. — 448 c.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка): kamteoriyaiproblemiustoychivosti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 136 >> Следующая

следовательно
Дщ _ то р
< maxi -
f1 -1!
\р' т)'
Таким образом, сходится к числу, например к а, и поскольку
О ^ Ът - ат ^ 1, то и j?- сходится к а. Ввиду b) Tm(s)/m также сходится к
а для всех s ? S, что доказывает (2.8').
Теперь, примененяя с) при то = 1, получим
§3. Компактность множества минимальных решений 349
Для р -> ос получаем ai ^ а ^ Ь±. Это означает, что оба числа t(s) - s и
а лежат в интервале [ai, &i] длиной ^ 1, следовательно,
|r(s) - s - ct\ ^ 1 для всех s Е S,
что доказывает (2.8").
Применим эти неравенства к r-f1 • т*2 ... т*п = тк и получим
|rfc(s) - s - а(к) | ^ 1 для всех s Е S,
где
а{к) = fci"i + ... + кпап, av = a{ev).
§ 3. Компактность множества минимальных решений
Вышеперечисленные оценки были справедливы при очень общих предположениях
(2.2), которые не учитывают вида уравнений Эйлера, в частности, их
эллиптичность. Теперь мы усилим предположения и потребуем
F E C1' e(M2fl+1), I > 2, e > 0
ii) F имеет период 1 по x±, X2, • • • , xn, u.
iii) <^Г n E FpvPll{x,u,p)iv^^8
z/, (1 = 1
\Fpu + Ы ^ c(i + bl)
\FUu + \FUX\ + \FXX\ ^ c(l + \p 2),
с некоторыми константами 8 Е (0, 1), с > 0.
Очевидно, что из этих предположений следует (2.2) с некоторыми
положительными константами <50; со, значит, наши предыдущие оценки
справедливы и для произвольного минимального решения и(х). В частности,
и(х) = и(х) - а(х) - и(0)
равномерно ограничены вличиной с\ \J 1 + \а\2. При предположениях (3.1)
можно показать, что и имеет непрерывные по Гельдеру производные, которые
можно равномерно оценить. Для этой цели условие периодичности (3.1) ii)
не имеет значения, т. к. были найдены поточечные
350
Минимальные решения вариационных задач на торе
границы для и. Утонченный метод оценок поточечных границ их в терминах
sup |u| был разработан Ладыженской и Уральцевой [15] и позже расширен и
модифицирован Морри [17] (Моггеу), Трудингером, Джиаквинта, Джиусти и др.
Для обобщения, включающего препятствия и такие условия, см. Айзен [6]
(Eisen), чьи доказательства основаны на подходе Ладыженской-Уральцевой.
Другой подход, не использующий дивергентную структуру, был разработан
Аманном (Amann) и Грэндо-лом [1] (Grandall) и основан на идее Томи
(Tomi).
Теорема 3.1. Пусть и является минимальным решением (2.1) без
самопересечений с вектором вращения а, где F = F(x, и, их) удовлетворяет
(3.1) i) и iii), но необязательно п). Если и удовлетворяет
тогда и ? С1,е(Шп) для некоторого положительного е, не зависящего от и,
но зависящего от |а|, с, S и
где 7i - константа, зависящая от с, S и |а|.
В дальнейшем константы, зависящие только от с, ё и |а|, будем обозначать
7, 7i и др., и предполагается, что они являются монотонными возрастающими
функциями от |а|. Заметим, что обычно 71 возрастает быстрее линейной
функции, даже для п = 1 она может возрастать экспоненциально относительно
|а|.
Сведем доказательство к результатам Ладыженской и Уральцевой. Отметим,
что
|и(х + у) - и(х) - а ¦ у\ 4. C\\J\ + |а|2,
\их\с* < 7i)
v(x) = и(х) - и(0) - а ¦ х является минимальным решением вариационной
задачи
где
F(x, v, vx) = F(x, и(0) + а- х + v, а + vx).
Исходя из (3.1) iii), имеем
+ I-ft) J, a; I = \Fpu\ + I Fpx + OtFpu\ ^
< c(l + |a|)(l + \a + vx\) ^ 7(1 + Iг)жI)
(3.2")
(3.2')
§3. Компактность множества минимальных решений
351
и аналогично
\FVV\ + \FVX\ + \FXX\ ^ 7(1 + ы2), (3.2"')
при 7 = с(1 + |а|)4-
Теперь используем результаты Ладыженской и Уральцевой ([15], глава 4),
которые применимы в более общем случае к слабым решениям квазилинейных
дифференциальных уравнений
П
У , т^а"(х, v, vx) + а(х, v, гж) = 0.
Z/=l ^
В нашем случае выполняются равенства
а"(х, v, vx) = FVxv, а(х, v, vx) = -Fv(x, v, vx),
которые, ввиду (3.2')-(3.2"'), удовлетворяют необходимым оценкам (ЗЛ),
(3.2) и (5.7) для т = 2 в книге [15]. Кроме того, по нашему предположению
|ц(х)| ^ С1%/1 + а2 = 7о- Следовательно, по теореме 5.2 в [15] (глава 4)
v ? С'1(Мга), и существует константа 71, зависящая только от с, S и |а|
такая, что
Ы ^ 71
для всех х ? Мп. Далее, по теореме 6.1 [15], v ? C'1,e(R(tm)) для некоторого
е > 0, тоже зависящего только от с, ё и |а|, и получаем оценку
Мс1.* < 71-
Это доказывает теорему (3.1).
Для данного доказательства условие периодичности (3.1) п) было
несущественным. Но если восстановить его, то можно применить теорему 2.1
и получить
Следствие 3.2. Пусть и является минимальным решением (2.1) без
самопересечений с вектором вращения а, где F удовлетворяет (3.1) i), ii),
iii). Тогда и ? С1,? и
|и(х) - м(0) - а ¦ ж|с-1,с(кп) ^ j[.
Кроме того, все минимальные решения удовлетворяют слабым уравнениям
Эйлера
J (i>2<Px"FpAxi их) + <pFu(x, и, ux)jdx = 0
352 Минимальные решения вариационных задач на торе
для всех ip ? С'р0шр(Мп). Эти формулы имеют смысл, т.к. и, их являются
непрерывными. Фактически, из общей теории следует, что и ? (72(Rn) и
является классическим решением уравнения Эйлера
П
^ ^ ^ж) Fu(x, X) О*
и=1 V
Если F ? С1,е, следовательно, и ? С1,е. Для нас количественные оценки
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 136 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed