КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
344 Минимальные решения вариационных задач на торе
можно определить число вращения Пуанкаре. Теми же самыми стандартными
аргументами (см. ниже) покажем, что число вращения
Tm(s)
av = lim " , s ? Sx (2.8')
7П-ЮС nb
существует и не зависит от s. В более общем случае, поскольку Ti, 72, ...
, гп коммутируют, то верно следующее:
km
lim 1-~ = 'У kvav = к ¦ а, где тк = ткг ... ткп.
га-юо пь
и=1
Кроме того, для любого такого монотонного отображения тк=ткг .. .ткп
множества Sx на себя выполняется
|rfc(s) -s-k-a\^ 1, (2.8")
и, следовательно,
|и(х + к) - и(х) - к ¦ а\ ^ 1 для всех к ? Ъп. (2.9)
Кроме того, а не зависит от х, т. к. отображения ти для различных
значений х ? Мп сопряжены.
Для завершения доказательства необходимо проверить оценки, аналогичные
(2.9), где к ? Z", заменяется на произвольный вектор у ? Ж". Для такого у
? Ж" определим к ? Ъп такой, что
у - к ? Q,
следовательно, из (2.9) получим
П
\и(х + у) - и(х) - у ¦ а\ ^ osc и + у \av\ + 1. (2.10)
x+k+Q
z/=l
Так как все наши допущения инвариантны относительно переносов х -> х + а,
достаточно найти оценку для osc и в терминах |а|.
Q
Из (2.9) с х ? Q и к = ±ev можно вывести
§2. Минимальные решения на торе
345
¦3 Q
шахи = и(х*), тши = и(х*),
3 Q 3 Q
можно найти точки х^ € 3Q, v = 0, 1, ... , п такие, что
ж(°) _ х*^ x(v) _ ж(^-1) _ rjv = ±1 или о
и х6 Q (см. рисунок).
Из (2.9) следует
П П
тахи = и(х^) ^ и(ж^п^)+^ \и(х^)-и(х(-1'~1^)\ ^ тахи+^(1+|а!/|).
^ 1У= 1 ^ 1У= 1
Вместе с аналогичной оценкой снизу для шм получаем для osc и =
3Q 3 Q
= max и - min и оценку (2.11).
3 Q 3 Q
Объединив (2.11) с (2.7"), находим, что
osc и ^ в I osc и + 2 Ed + |с!г/|) + с2
Q V Q ^=1 У
следовательно,
osc и ^ ( 2?(! + 1"^1) + сг j < сЗЛ/1 +
la^l2.
Так как эта оценка выполняется для всех кубов после переноса х + Q, из
(2.10) получим искомую оценку, тем самым докажем теорему 2.1.
346 Минимальные решения вариационных задач на торе
С помощью многократного применения неравенства (2.7') получим
непрерывность и по Гельдеру в явном виде
где, без потери общности, предположим, что в € lj. Объединив это с
теоремой 2.1, можно усилить теорему:
Теорема 2.2. Для любого минимального решения и(х), не имеющего
самопересечений, существуют показатель Гельдера е > 0 и константа С4 > 0,
зависящая только от со, Sо такие, что
|и(х + у) - и(х) - а ¦ у\ ^ С4л/1 + \а\2 min(l, \у\е)
выполняется для всех х, у ? Ж(tm).
Расширим описание минимальных решений без самопересечений в случае, когда
F = F(p) не зависит от х, и.
Теорема 2.3. Если F = F(p) 6 С'2(Мга+1) и
П
^l2 ^ ^2 Рр"рЛр)^н ^ <5_1|^|2 для всех ? е
г/, fi=l
тогда любая минималь без самопересечений имеет вид и(х) = а • х + (3.
Доказательство.
Пусть и будет такой минималью без самопересечений. Тогда для любых (j,
jn+1) е Ъп+1
v(x) = u(x + j) - jn+1
имеет те же самые свойства и v(x) - и(х) либо > 0, либо < 0, либо = О для
всех х. Мы утверждаем, что w(x) = v(x) - и(х) является константой.
Действительно, т. к. и и и г являются слабыми решениями уравнения Эйлера
§2. Минимальные решения на торе
347
получим для w эллиптическое дифференциальное уравнение
П
У ](ai'/J,(X)WXu)xl, = О,
!/=1
где
1
- J" ((1 t)ux + tvx)dt. о
Из обобщенного неравенства Харнака (см. [19], замечания в конце §6)
следует, что положительное решение w такого уравнения должно быть
константой. Следовательно,
u(x + j) - и(х) = c(j).
Как и раньше приходим к заключению, что c(j) = а ¦ j для некоторого а €
R(tm). Теперь и0(х) = а • х, очевидно, является минималью без
самопересечений для нашей вариационной задачи и
и(х) - щ(х) = и(х) - а ¦ х
имеет период 1 по всем переменным х\, ... , хп. Поскольку выраже-
ние и - ио также удовлетворяет эллиптическому дифференциальному уравнению
в частных производных, оно должно равняться константе, т. е. и{х) = а ¦ х
+ (3.
Приложение к § 2
Для полноты приведем доказательство (2.8'), (2.8"), которое обычно дается
лишь в случае, когда функция t"(s) определена для всех вещественных s и
непрерывна.
Опуская индекс v, запишем r(s) = tv(s) и предположим, что r(s) определена
на счетном множестве S,
t(s) € S для s 6 5, t(s + 1) = t(s) + 1
и t(s) < т(з') для s < s', s, s' ? S.
Тогда t(s) - s имеет период 1 и
a) lT(s) - s - t(s') + s'| < 1 для всех s, s' E S.
348 Минимальные решения вариационных задач на торе
Действительно, в противном случае, благодаря периодичности находим
si, S2 ? S где si < s2 < si + 1 и r(s2) - s2 ^ t(si) - si + 1.
Правая часть равна r(si + 1) - si > r(s2) - si, что дает -s2 > -si, это
противоречие.
To же неравенство выполняется для тт. Положим
ат = inf (rm(s) - s); bm = sup(rm(s) - s),
S^s s€s
так что 0 ^ bm - am ^ 1 ввиду а), и
b) am ^ rm(s) - s ^bm.
Поскольку
p
Tmp(s) - s = ^(rm!/(s) - Tm(v~1\s)) v=l
для всех натуральных чисел га, р, получим
c) рат < атр ^ Tmp(s) - s ^ Ътр ^ рЪт.
Меняя местами тир, получим также Ътр ^ mbp, следовательно,
т ^ р '
При ар ^ Ър - 1 это влечет
а-т _ < "т _ \ < 1
ТО р ^ ТО р ^ р'
