Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мозер Ю. -> "КАМ-теория и проблемы устойчивости" -> 105

КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.

Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости — И.: НИЦ, 2001. — 448 c.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка): kamteoriyaiproblemiustoychivosti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 136 >> Следующая

$))
с U(x, в) - в ? С(Тп+1) это слоение может быть отображено в тривиальное
слоение в = а ¦ х + (3. Другими словами, листы этого слоения задаются
выражением
жп+1 = U(x, а • х + 0), /3 ? М. (1.7)
336 Минимальные решения вариационных задач на торе
В) Если а не рациональное, но xn+i = и(х) не плотная на Т"+1, тогда
предельное множество является множеством Кантора, инвариантным
относительно Z"+1, которое расслаивается минимальными решениями
ж"+1 = и(х, Р) =U(x, а ¦ х + Р),
где, однако, функция U(x, в), строго возрастающая по в, не является
непрерывной. Встречаются оба случая, но В следует рассматривать как
"общую" ситуацию.
е) Квазипериодические решения
Непрерывная функция g(x),x?К", которую можно записать в виде
П
g(x) = G(x, в) с в = а • х = avxv, (1.8)
V=1
где G ? C(Tn+1) называется квазипериодической с частотами ац, (Х2, ¦ ¦ ¦
, ап. Таким образом, с учетом (1.7) в случае А) функции ехр(27гш)
являются квазипериодическими; в этом случае для удобства саму и будем
называть квазипериодической. Полученные результаты можно рассматривать
как построение обобщенных квазипериодических решений уравнений Эйлера. В
то время как в случае А) решения (1.7) действительно квазипериодические;
в случае В) они такими не являются, т.к. U(x, в) оказывается разрывной. В
частности, такие решения можно найти для любого а ? К" для нелинейного
дифференциального уравнения
Д u = Vu(x,u); V?Cl'e(Tn+1) с периодической правой частью, например
п
Ди = Asin(27(tm)) JJ sui(2ttx1/).
v=\
f) Альтернативный вариационный принцип
Можно попытаться построить функцию U(x, в) для данного а прямым
построением, отбрасывая предыдущие шаги. В седьмом параграфе
§ 1. Введение
337
приводится набросок такого подхода, который основан на регуляризо-ванных
вариационных принципах
+ F(x,U,DU)dxd9,
ТП + 1
n - 9 , д
" ~ dxv +avd9'
(1.9)
Минимизируя этот функционал по всем U = U(x, в), U - в € € W1,2(T"+1),
при е > 0 получим гладкую функцию U^ix, 9), монотонную по 9. Искомую
функцию можно получить, вычислив предел подпоследовательности 7/(Ч ->•
0. Однако этот раздел является
фрагментарным, и мы ограничимся доказательством строгой монотонности
V(e)
при ? > 0.
g) Связь с теорией Обри и Мезера
Эти результаты, а также их доказательства получены благодаря работам Обри
(Aubry) [2] и Мезера (Mather) [16], и настоящая статья может считаться
обобщением их идей. В их работах изучались закручивающие отображения <р
плоского кругового кольца или цилиндра, сохраняющие площадь. Одним из
важнейших их достижений является построение замкнутого инвариантного
множества для заданного числа вращения а, так называемого множества
Мезера, которое является либо замкнутой липшицевой кривой, либо
инвариантным канторовым множеством, лежащим на такой кривой. Оба автора
разработали различные методы построения этих множеств. Конструкция Обри
основана на вариационной задаче для одномерных последовательностей щ, г ?
Z и на его так называемых энергетических орбитах. Определение этих
минимальных энергетических орбит и их построение обобщаются нашим
понятием минимальных решений. Мы опустили термин "энергия", т. к.
вариационное выражение может представлять "действие" в механике либо
какую-нибудь другую физическую величину. Тем не менее, существует
фундаментальное различие. В теории Обри любая минимальная энергетическая
орбита является монотонной, что соответствует отсутствию самопересечений
в нашем случае. Это происходит по причине того, что теория Обри относится
к одномерным дискретным
338 Минимальные решения вариационных задач на торе
орбитам, соответствующим п = 1 в нашем случае, тогда как при п > 1
необходимо потребовать отсутствие самопересечений. Ранее [20] уже было
показано, что вариационную задачу, лежащую в основе теории Обри [2] для
дискретных орбит, можно заменить вариационной задачей (1.2) для п = 1,
где свойство монотонного закручивания переходит в условие Лежандра.
Также происходит преобразование других понятий: инвариантная кривая (р
соответствует минимальному слоению для (1.2). Множество Мезера, не
являющееся инвариантной кривой, соответствует минимальному слоению на
канторовом множестве !?. Число вращения а соответствует вектору вращения
а?М".
Конструкция инвариантных множеств Мезера основана на вариационной задаче,
изучавшейся ранее Персивалем (Percival) для численных приложений. Она
переходит в вырожденную вариационную задачу, представленную в
регуляризованном виде выражением (1.9).
Таким образом, эта работа может рассматриваться в качестве обобщения [2],
[16] на размерности более высокого порядка. Важно, что одномерные орбиты
заменяются на поверхности коразмерности 1. Это имеет решающее значение не
только для упорядочения орбит, но и для принципа максимума для скалярных
эллиптических уравнений в частных производных. Мы не будем рассматривать
примеры, показывающие, что оба случая А и В возможны (примеры такого рода
для п = 1 см. в [21]).
h) Методы исследования из вариационного исчисления
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 136 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed