КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
решением. В целом, экстремали минимальны только по отношению к достаточно
малым областям и не очевидно, что существуют минимальные решения.
Так как вариационная задача инвариантна относительно группы переносов
Z"+1, например при х -+ х + j, любое минимальное решение жга+1 = и(х)
переходит в другое минимальное решение
Конечно, это приводит к той же поверхности на Т"+1. Мы потребуем, чтобы
эта поверхность на Т"+1 не имела самопересечений, что равносильно
следующему:
Определение 1.2. Поверхность хп+\ = и(х) не имеет самопересечений на
Tn+1, если при любом j € Zn+1
имеет фиксированный знак, т. е. при всех х либо положительно, либо
отрицательно, либо тождественно равно нулю.
Впоследствии будет видно, что представление о минимальных решениях без
самопересечений естественно возникает в связи со слоениями, состоящими из
экстремалей. Нашей первоочередной целью будет изучение множества Ж
минимальных решений без самопересечений, доказательство их существования
и получение для них априорных оценок.
с) Некоторые свойства минимальных решений без самопересечений
В случае интеграла Дирихле (Dirichlet), когда F = \р\2, уравнение Эйлера
становится уравнением Лапласа Ди = 0 и, в этом случае, легко
Хп+1 = и(х + j) - jn+1 = TjU, j € Zn+1.
Tju(x) - u(x)
334
Минимальные решения вариационных задач на торе
проверить, что любая гармоническая функция является минимальным решением.
Однако единственными минимальными решениями без самопересечений являются
линейные функции
ио(х) = а ¦ х + [3, а ? М", [3 ? М.
То же самое верно для любой подынтегральной функции F = F(p), которая не
зависит от х, и (см. второй параграф).
Первый из основных результатов можно рассматривать как утверждение о
сравнении минимальных решений без самопересечений для общей вариационной
задачи с решениями задачи, инвариантной при переносах, например F = \р\2.
Теорема. Для любого минимального решения и без самопересечений существует
такой вектор а?М", что расстояние в пространстве М"+1 между поверхностями
хп+1 = и(х) и хп+1 = а • х + м(0)
меньше чем константа с, зависящая только от F, но не зависящая от выбора
и ? Ж (см. второй параграф).
Таким образом, с любым и ? Ж можно связать вектор а ? М", где (а, -1)
является нормальным вектором к гиперплоскости xn+i = а-х + + и(0). И
обратно, для любого а ? М(tm) существует и ? Ж (см. пятый
и шестой параграфы). Обозначим через Ж{а) множество и ? Ж,
со-
ответствующих а ? М". Более того, и можно выбрать таким образом, чтобы
множества периодов и(х) и Uq(x) = а ¦ х + [3 были согласованы, т. е.
u{x+j) - jn+1 = и(х) j ? 1n+1 (1.6')
выполняется тогда и только тогда, когда
Uo(x+j) - jn+1 = и0(х) j ? Zn+1, (1.6")
т. е. когда a- j - jn+1 = 0.
Связь между и и щ на этом не заканчивается. Если и обладает вышеназванным
свойством, то отношение
щ(х + j) - jn+l -> и(х + j) - jn+1
монотонно, т. е. упорядочение этих переносов не зависит от выбора
подынтегрального выражения (см. шестой параграф).
§ 1. Введение
335
d) Слоения минималей (минимальных решений)
В общем случае, гиперповерхность xn+i = и(х), и ? М{а) рассматриваемая на
Т"+1 не является компактной. Необходимым условием компактности является
рациональность вектора а, т. е. всех его компонент. С другой стороны,
если а не рационально, то переносы любой гиперплоскости хп+\ = а- х + (3
о плотны в М(tm)+1 и рассматривая их пределы, получаем все параллельные
гиперплоскости ж"+1 = а ¦ х + /3, где а постоянная, а /3 изменяется на М.
Эти гиперплоскости образуют слоение, заданное уравнением uXv = а". Листы
этого слоения являются экстремалями задачи F = \р\2. В более общем
смысле, возникает вопрос, действительно ли для произвольной вариационной
задачи переносы и(х + j) - jn+1, и ? Ж (а) порождают слоение из
минималей. Слоение на Т"+1 коразмерности 1 задается однопараметрическим
семейством поверхностей ,
хп+х = и(х, (3), дек
с и(х, 0) < и(х, (3'), если (3 < (3', которое является инвариантным при
переносах ж -у ж + j; в частности, положим и(х, (3 + 1) = и(х, (3) + 1.
Если и(х, (3) - экстремаль для любого (3, назовем его экстремальным
слоением; если и(х, (3) - минималь для любого /3, назовем его минимальным
слоением. Очевидно, что листы хп+± = и(х, (3) не имеют самопересечений, и
это одна из причин, для изучения решений без самопересечений. Также
стандартным результатом теории вариационного исчисления является то, что
любое экстремальное слоение является минимальным. Это можно доказать с
помощью инвариантного интеграла Гильберта, заметив, что xn+i = и(х, (3)
является полем экстремалей.
Для и ? М(а), удовлетворяющей (1.6), рассмотрим предельное множество 3? С
Tn+1 переносов (ж, и(х + j) - jn+i) относительно фундаментальной группы
Z"+1 в подходящей топологии; 3? иногда называется оболочкой и. Существуют
два случая:
А) Если ж"+1 = и(х) плотная на торе, т. е. если 3? = Tn+1, то переносы
tju порождают минимальное слоение uXt, = Ф0Х, и) непрерывное по Липшицу
на Т"+1. Кроме того, с помощью гомеоморфизма (ж, $) У (ж, Жта_|_ 1 1/(ж,
