КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
I'anneau II, Asterisque 144, 1986.
330 Лагранжево доказательство теоремы об инвариантной кривой
[5] Y. Katznelson and D. Ornstein, A new method for twist theorems, Jour.
d'Analyse Math. 60, pp. 157-208, 1993.
[6] Y. Katznelson and D. Ornstein, The smoothness of invariant curves,
Fourier Analysis and Applications, Special Issue, pp. 283-310, 1995.
[7] J. Mather and G.Forni, Action minimizing orbits in hamiltonian
systems, Lecture Notes in Mathematics 1589, Springer Verlag, pp. 92-186,
1994.
[8] J. Moser, On invariant curves of area-preserving mappings of an
annulus, Nachrichten der Akademie der Wissenschaften, math.-phys, Klasse
Ha, pp. 1-20, 1962.
[9] J. Moser, A stabylity theorem for minimal foliations on a torus,
Ergo-dic Theory and Dynamical Systems 8*, pp. 251-281, 1988.
[10] H. R. Riissmann, Notes on sums containing small divisors,
Communications Pure Appl. Mathematics 39, pp. 755-758, 1970.
[11] H. R.Riissmann, Uber invariante Kurven dijferenzierbarer Abbildun-
gen eines Kreisringes, Nachrichten der Akademie der Wissenschaften,
math.-phys, Klasse Ha, pp. 67-105, 1970.
[12] H. R. Riissmann, On optimal estimates for the solutions of linear
partial differential equations of first order with constant coefficients
on a torus, Lecture Notes in Physics 138, pp. 598-624, 1975.
[13] H. R. Riissmann, On the frequencies of quasi-periodic solutions of
nearly integrable hamiltonian systems, Seminar on Dynamical Systems,
Progress in Nonlinear Differential equations and Their Application 12,
pp. 160-183, 1994.
[14] D. Salamon and E. Zehnder, KAM-theory in configuration space, Com-
mentarii Math. Helv. 64, pp. 84-132, 1989.
[15] C.L. Siegel and J.K.Moser, Lectures on Celestial Mechanics, Grund-
lehren der mathematischen Wissenschaften 87, Springer, 1971.
[16] E. Zehnder, Homoclinic points near elliptic fixed points, Comm. Pure
Appl. Math. 26, pp. 131-182, 1973.
МИНИМАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ НА ТОРЕ1
Благодарности
В процессе работы над этой статьей мне помогали советами многие
математики. В начальный период у меня состоялось несколько полезных
обсуждений с Джиаквинта, Струвом и Бангертом. Позже мне оказывали помощь
Г. Аманн, С. Гильдербрандт, Дж. Мезер, Л. Ниренберг и Д. Саламон. Я хочу
выразить им всем благодарность.
§ 1. Введение
а) Вариационная задача
В этой работе рассматривается особый класс экстремалей, так называемые
минимальные решения вариационной задачи на торе. Мы рассматриваем тор
Tn+1 как фактор-пространство универсального накрывающего многообразия
М"+1 по действию группы Z"+1. Обозначим точки в М"+1 как х = (ад, ад, ...
, хп+\) и положим х = (ад, ад, ... , хп). Рассмотрим n-мерную
гиперповерхность в М"+1, которая может быть представлена в виде графика
функции и{х) на М":
хп+\ = и(х), х ? М(tm). (1-1)
Для функции и(х) периодичность не требуется.
Такую функцию будем называть экстремалью вариационной задачи
J F(x, и, их) dx, (1-2)
если она является решением уравнения Эйлера
1J. Moser, Minimal solutions of variational problems on a torus. Ann.
Inst. Henri Poincare, Vol. 3, №3, 1986, p. 229-272. (Перевод А. Г.
Арзамасцева.)
332 Минимальные решения вариационных задач на торе
Здесь подынтегральное выражение F = F(x, xn+i, р) имеет период 1 по
переменным х±, жг, ••• , xn+i, поэтому дифференциальное уравнение (1.3)
является инвариантным при переносах ж ->• ж + j, j Е Z"+1 и может
рассматриваться как дифференциальное уравнение на торе Т"+1 = Жп+1
/1ап+1. Кроме того, будем предполагать, что
F Е cl,?(Tn+1 х Г), 1^2, 0<е<1,
т.е. F дифференцируемо вплоть до порядка /, и его производные непрерывны
по Гельдеру с показателем Гельдера е. Кроме того, F удовлетворяет условию
Лежандра
<^|2 "S Fp"pMi хп+ъ "S ^_1|?|2 (1-4)
с константой S Е (0, 1) для всех (ж, р) Е К2га+1. Функция F должна расти
примерно, как \р\2 при большом |р|; точные условия даны в третьем
параграфе, (3.1). Стандартный пример:
F(ж, жп+1, р) = Е (x)PvPh + 2 Е ЬЛх)Рр + с(ж) (1>5)
где aVfl, Ъ", с принадлежат С1,е(Та+1) и aVfl положительно определена.
Ь) Минимальные решения
Как правило, вариационная задача типа (1.2) рассматривается на компактной
области. Так как мы рассматриваем некомпактные гиперповерхности (1.1), а
областью определения и является М", возникает вопрос: в каком смысле
следует понимать вариационный принцип? Здесь мы будем следовать работе
Джиаквинта (Giacuinta) и Джиусти (Giusti) [8] при определении минимальных
решений вариационной задачи. Мы потребуем, чтобы и Е W^'2(Rn),
пространству функций и, у которых первые производные принадлежат
Т2ос(М").
Определение 1.1. Элемент и Е И^'2(К") называется минимальным решением
вариационной задачи (1.2), если
J(F(ж, и + tp, их + фх) ~ F{x, и, ux))dx ^ О R"
при любых ф Е
§ 1. Введение
333
Другими словами, при фиксировании и на границе любой области О С К"
интеграл
принимает минимальное значение. Следовательно, каждое минимальное решение
является экстремалью, но не каждая экстремаль является минимальным
