Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мозер Ю. -> "КАМ-теория и проблемы устойчивости" -> 101

КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.

Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости — И.: НИЦ, 2001. — 448 c.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка): kamteoriyaiproblemiustoychivosti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 95 96 97 98 99 100 < 101 > 102 103 104 105 106 107 .. 136 >> Следующая

переменных не xi, Ж2, a si и масштабированную переменную р = j~1(x2 - Ж1
- а(7)), так что
P = Vi +l~1f(xi, 2/1, 7)-
Так как 7-1/ = 0(5) предполагается малой, можно решить это уравнение при
2/1 = F(xi, р, 7) = р + 0(5), и, подставляя это во второе уравнение
системы (39), получаем 2/2 = G(x±, р, 7) = р + 0(5). Эти функции могут
быть определены при |р| < д и любом 0 < д < 1, на-
О
пример, при д = если 5 достаточно мало.
§8. Приложение
325
Теперь воспользуемся тем, что у2 dx2 - yi dx 1 является полным
дифференциалом, а, следовательно,
т-1 (г/2 dx2 - 7/1 cfei) = 7_1(т/2 - 7/i)cfei + у2 dp := dl(x i, р, 7),
что определяет производящую функцию I = 1{х\, р, 7) с точностью до
константы. Таким образом, имеем у2 - у\ = G - F = 7lXl, у2 = G = 1Р,
так что 1{х 1, р) = ^р2+0(5), где оценка предполагается однородной по 7.
Если сравнить эту производящую функцию 1(х±, р) (мы опускаем 7) с h = h(x
1, х2), то найдем соотношение l(x±, р) = -y~1h(xi, х\ + +а + 7р).
Заметим, что область определения h зависит от 7, в то время как для I она
фиксирована, например, |р| < т/.
Функцию 1(х, р) можно рассматривать как дискретный аналог функции
Лагранжа L(x, х) в механике.
3) Разностное уравнение. Выразим условие, что х\ = и(в) = = в + и(в),
т/l = v(6) представляет инвариантную кривую с числом вращения и>, которое
еще необходимо определить. Заметим, что инвариантность требует, чтобы х2
= и(6 + и>), следовательно,
где мы определили масштабированные V и а через V/ =
а = 7-1(w - а). Аналогично, определим масштабированный функционал Е(и) (=
7-1(/ii(7t, 7t+) +h2(u~, и))) через
Е(и) = 7_1(/р - l~) - lXl = V*lp{x 1, Vu + а) - lXl(x 1, Vm + а).
Уравнение Е(и) = 0 можно рассматривать как аналог уравнения Эйлера в
механике.
4) Определение ш. Для того, чтобы найти решение уравнения Е(и) = 0,
необходимо определить и>, так чтобы а лежало в области определения I.
Достаточно, чтобы
Если мы хотим найти число и> на этом интервале, удовлетворяющее условию
диофантовости, необходимо заменить множитель К в (9) на 7К и потребовать,
чтобы
р = 7 1 {и+ - и - а) = Vu + а
\oj - а\ < 7/2, так что - ^ < а <
о/ - || ^ jKq-*-2
(40)
326 Лагранжево доказательство теоремы об инвариантной кривой
Можно показать простыми аналитическими рассуждениями, что при 7 > 0
существует число и> = и>(у), удовлетворяющее этим двум требованиям (см.
Зигель-Мозер [15]).
Зафиксировав и>, имеем при щ = в, что Е(щ) = V*(a) + 0(5) = = 0(5).
Теперь можно действовать, как при доказательстве основной теоремы:
Теорема 13. При ш, выбранном как указано выше, существует 5' > 0,
зависящее от г, а, К, но не зависящее от у так, что если \Е(и0)\г < 5',
то существует единственное решение и(в) уравнения Е(и) = 0 с и(в) = и(в)
- в ? Wr/2 и нулевым средним значением.
5) Доказательство. Доказательство аналогично предыдущему; необходимо
просто проверить, что оценки леммы 9 все еще справедливы, однородность по
7 при использовании масштабированного V и модифицированного условия
диофантовости (40). Действительно, малые делители можно оценивать
независимо от у следующим образом. Если т выбрано целым, удовлетворяющим
\то - т\ ^ то
7-1|е27Г!"" _ i| _ ^-12sin7r|no; - т\ ^ у^Цпиз - т\ ^ 4Кп~а~1.
Окончание доказательства очевидно.
В. Устойчивость эллиптических неподвижных точек
Сохраняющее площадь вещественно-аналитическое отображение (р в
окрестности неподвижной точки, которая принимается за начало координат,
можно записать в виде ip: (и, v) -> (иcos а - vsina, Msina+ -\-v cos о) +
0(u2 + v2), или в комплексных обозначениях при w = u + iv
w ->• we(tm) + 0(\w\2).
Если qa/2-к нецелое для q = 1, 2, ... , k, то можно найти симплекти-
ческие координаты такие, что отображение будет нормальной формой Биркгофа
с точностью до порядка к - 1, т. е.
w => we^ +0(\w\k), (41)
где ф - вещественный полином степени ^ | - 1 в М2. Его коэффициенты
инвариантны под действием симплектических преобразований; это так
называемые инварианты Биркгофа.
§8. Приложение 327
Теорема 14. Если в (41) ф не константа, то начало координат является
устойчивой неподвижной точкой при отображении (р.
Доказательство.
Можно считать, что ф = а + [3\w\2m, где /3 ф 0 и 2 ^ 2т ф к - 1.
Останавливаясь на порядке 2т + 2, можно положить, что отображение имеет
вид
w -+ we** + 0(\w\2m+2), ф = а + f3\w\2m.
Поскольку при iy?-1 коэффициент /3 заменяется на -/3, можно также
положить /3 > 0. Устойчивость будет установлена представлением
инвариантных кривых, окружающих начало координат в любой его окрестности.
Точнее, такие инвариантные кривые будут построены в любом кольце
?2(1 - ?v) ^ \w\2 ф е2(1 + sv), v = \
при достаточно малом г > 0. Заметим, что это кольцо довольно узкое,
поскольку его ширина порядка е1+и = г4/3, что мало по сравнению с
радиусом е.
Существование инвариантных кривых будет выведено из теоремы предыдущего
раздела с использованием подходящих "полярных координат" ж, у, которые
определены как
W = еу/1 + ?vy • е2ж{х,
так что кольца задаются в виде - 1 ^ у ф 1. Можно проверить, что якобиан
Предыдущая << 1 .. 95 96 97 98 99 100 < 101 > 102 103 104 105 106 107 .. 136 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed