КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
что S достаточно мало), несколько раз применяя леммы 8 и 10; их
применимость будет обоснована ниже.
Применяя оценки (18) из леммы 8 к м = м", г = rn, N = 2Nq, получим оценки
для поправок vn = m"+i - м":
Cl
(rn - rn+1)
где ?n = |Я(м")|Гв и Ci = с(М, 2Nq, К, сг) - константа из леммы 8, и
К""),1г-+' ^ <r,-vZ,)2T"e"' <33)
322 Лагранжево доказательство теоремы об инвариантной кривой По лемме 10,
см. (29), еп удовлетворяет неравенству
?п+1 < с6--------= с7апе2п, (34)
Vn ^n+lj . 9 4т
где а = 2 и С7 = Cq --------------т-. Таким образом, геометрический
(го - г ос) т
рост ап компенсируется квадратичным уменьшением при ?о = S, выбранным
достаточно малым (именно здесь вступает в действие выбор 5 в теореме 6)
преобладает квадратичное уменьшение: еп ->• 0. Действительно, для
последовательности, определенной как
цп = ап+1с7?п (35)
получаем r]n+i ^ г}^. Следовательно, если щ = ас7?0 < 1, то г)п
^ ??о"->¦ 0
и ?п -у 0. Согласно (32) имеем, что |п"|Гоо ->• 0 быстрее,
чем экспо-
п-1
ненциально, и предел Uoo = lim ип = Uq + Vk вполне определен
п-юо q
в | Im#| < Го". Отсюда можно сделать вывод: E(uoo) = lim Е(ип) = 0.
71-^OG
Теперь докажем, что предположения (16) и (17) лемм 8 и 10 выполняются при
и = ип, N = 2No, г = г" на п-м шаге при всех п 1. Достаточно показать,
что при всех п ^ 1
|и" - и0\гп < ^ (36)
и
\(и" - и0)в\Гп < (37)
при всех п = 1, 2, .... Действительно, можно проверить, что (36) вместе с
(7) приводит к (16) при и = ип, г = гп, в то время как (37) с (8)
приводят к (17) при и = ип, N = 2N0 и г = гп. Таким образом, константа
Ci в (32) и (33) определяется как Ci = с(М, 2N0,
К, к, ст), где
с берется из леммы 8. Аналогично, Cq = Ce(M, 2No, К, к, ст).
Таким
образом, осталось доказать (36) и (37).
Для этого сперва проверим при Л ^ 4т, следовательно, при 2А ^ а, оценку
§8. Приложение
323
при г]о < 1/2, где использовано т]п < t]q+1 ¦ Эта сумма может быть
сделана малой путем выбора ?о = 8.
Для доказательства (36) и (37) предположим, что п ^ 1 - наименьшее целое,
для которого по крайней мере одно из этих неравенств нарушается. Тогда
при v < п эти неравенства выполняются, и можно использовать оценку (32),
и с учетом (38) получаем
П - 1 71-1
ClSv _ ?о
Iun Мо|r" < \vv\Tv ^ ^ ^2t < Ci2a
V=0 _
Аналогично из (33) находим
"=о ^ ~ r"H-i)2T ' "(n> - гсхэ)2т
2r+l *
|(m" - u0)e\rn < Ci2a- -
(П) - Гоо)
Дальнейшее уменьшение 8 = ?0, если это необходимо, гарантирует, что
неравенства (36) и (37) выполняются при всех п. Этим завершается
доказательство основной теоремы.
|Я(ио)|,
(г - р)4
(при д', независящем от г, р), то существует решение и ? Wp уравнения
Е(и) = 0, удовлетворяющее оценкам
I J I LL\J J у" *
Замечание 11. Одновременно мы доказали, что если -----------------------
--- < о
|И-"о|,<С12а№, |(ц - Мо)й|р < Cl2а ^Е^и°ЦТ+1 •
(г - р) (г- р)
§ 8. Приложение
А. Малое закручивание
1) Формулировка результата. Для некоторых применений
важно рассмотреть случай, где "закручивание" в формулах (10)
мало. В этом вырожденном случае возникают трудности в представлении
отображения с помощью производящих функций, поскольку это требует решения
уравнения а?2 = f(x 1, у\) для у\. С другой стороны, эта ситуация
неизбежна, так как она возникает, например, в задаче устойчивости
эллиптической неподвижной точки сохраняющего площадь отображения.
Покажем, как можно преодолеть эти трудности,
324 Лагранжево доказательство теоремы об инвариантной кривой
в основном с помощью соответствующего масштабирования и введения
подходящей производящей функции. В следующем разделе мы применим
результирующую теорему к упомянутой задаче устойчивости.
Предположим, что сохраняющее площадь вещественно-аналитическое
отображение tp зависит от параметра 7 € (0, 1) и имеет вид
ж2 = Ж1+<1(7)+72/1+/(жь 2/1,7)
I ( \ V /
2/2 = 2/1 +g(x 1, 2/ь 7+
где функции в правой части аналитичны в комплексном диске 12/11 ^ 1 и в
|1тж1| ^ г. Обозначим через Wr,s пространство вещественно аналитических
функций, ограниченных и аналитических в 12/11 < s,
| Imaii | < г периода 1 по *i, с нормой \f\Tt s = sup \ f\ в этой
области.
Теорема 12. Существует положительная константа 5, независящая от 7 € (0,
1), такая, что если
\f\r,l + \g\r,l < 1$,
то существует инвариантная кривая х± =и(в), yi=v(6) в - 1<т(#)<1. При
этом как и(в) - 6 = и(в), так и v(0) имеют период, равный единице, и
являются вещественно-аналитическими и щ > 0.
Данная теорема отличается от предыдущей, так как число вращения ш не
задано, а должно быть построено в интервале длины 7. Условия гладкости на
а(7) накладывать не обязательно. Как правило, эта теорема используется
следующим образом: если \f\r,i + \g\r, 1 = °(т), то СУ~ ществует
инвариантная кривая при достаточно малых 7. (Здесь использованы
обозначения Ландау: f = o(jk) означает \f\j~k -> 0 при 7 ->¦ 0, в то
время как f = 0(jk) означает, что \f\j~k ограничено.)
2) Производящая функция. Для того чтобы построить производящую функцию
для данного отображения, будем использовать в качестве независимых
