Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
удовлетворяют уравнениям
где ЧГ (гг, г2) - волновая функция, характеризующая состояние всей
системы.
Для того чтобы иметь возможность проинтегрировать уравнения (10.9),
следует подставить в правую часть этих уравнений какое-либо приближенное
значение функции Т. Было показано, что ЧГ может быть представлено в форме
где член Ф характеризует все рассеянные волны. Функция Чг, как это было
показано в гл. VIII, может быть также представлена в виде
убеждаемся в том, что G0 я" G'0; другими словами, функция Ф характеризует
также и "обменную" волну. Таким образом, если
I (9) {31 /о + ?о |? +1 /о- So Н ^0)> (10.8а)
для гелия
7(0)rf(i)=|/o- g0|2d(B.
(10.86)
[У* + Л*]^0(Г1) =
[V* + **]G0(ra) =
8*swe*
Л2 8 *!me! Л2
г"^г1>йт"'
^=0s+S)^"(r>) УпЫ-
п
Можно записать это так:
Т = 7Г0(Г1)ф0(Г2) + ф,
?=(Е + 5)Сп(Гг) фп(Г1)-
П
Разлагая Ф в ряд
п
§ 6. ОБМЕННЫЙ ЭФФЕКТ ПРИ УПРУГОМ РАССЕЯНИИ ЭЛЕКТРОНОВ 259
мы предположим, что функция в правой части уравнений (10.9) имеет вид
'Г = F0 (гД <!>" (г2) + G0 (г2) фо (гД + ? (10.10)
и пренебрежем членом ср, то получим достаточно хорошее приближение, не
учитывающее влияния всех волн, длины которых отличны от длины падающей
волны.
Подставляя функцию (10.10) в уравнения (1.0.9), имеем
[va + *2-^700(r1)]^0(r1) =
[ С°(р*)'Мг>Н* (r2)<fr2 (Ю.Иа)
8 т&те2
[ V2 + А2 - Vоо (/• 2) ] G0 (г2) =
5 (¦^-^)^o("i)*o(r.)^("i)*1, (10.116)
8Я!те8
где
^оо ('•i) = - е2 J (-А- - i- ) | ф0 (г2) I2 dxt.
Переходя в выражении для G0 от переменной г2 к переменной гх и складывая
и вычитая уравнения (10.11а) и (10.116), получаем
[ V2 + V - Е00 (г,) ] [ F0 (г,) ± G0 (г,) ] =
= 5(^~^)[П(Г2)±Со(Г2)1'о(Г1)'"(Гг)ЙТг- (1°Л2)
Если мы разложим F0 (г) ± G0 (г) в ряд
F о (г) ± G0(r) = r-' 2 fn (r)Pn(cosb), (10.13)
то
+ &2 + G00---------- J /" (гД - ^ gn (rlt г2) /п (ri)dr2,
(10.14)
о
где
gniru r*) = (2!"h) hi fy (ri) ri4n fa, r2) ^(гг),
П
17*
260 гл. X. УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЭЛЕКТРОНОВ АТОМАМИ
Это дает ряд интегро-дифференциальных уравнений для определения функций
/". Как и в случае задачи о центральных силах, собственные решения имеют
в этом случае асимптотическую форму
и формулы (10.17) и (10.18) гл. И, определяющие дифференциальное и полное
эффективные сечения для рассеяния, остаются в силе.
Обменный эффект обусловливает изменение фазы; интегральное уравнение,
определяющее это изменение, может быть получено с помощью метода,
рассмотренного нами в гл. VI, § 2. Пусть F" есть решение уравнения
[^ + b2 + Uw-~nJ^] Fn(r)^ 0, , (10.16)
имеющее асимптотическую форму
Fn-^sm^kr - . (10.17)
В таком случае
' 09 GO
sin(Tin CTn) ^ \ Fn (r1)g"(r1, r2)/± (r^dr-tdr^, (10.18)
• о 0
где функция /± ~ sin ^ kr - у игг +¦ и представляет собой
точное собственное решение уравнения (10.14).
В том случае, когда как цп, так и ап малы, т. е. при больших значениях
энергии электронов, хорошее приближение может быть получено, если
положить
^М = /^ = (жТЧ4<*,>- <10Л9>
Менее грубое приближение, справедливое тогда, когда обменный эффект,
измеряемый величиной fit - а", мал, в то время как непосредственное
рассеяние, измеряемое величиной ч", не является малым, мы получим,
положив
1n=Fa, (10.20)
где Fn - точное решение уравнения (10.16). Если ни одно из этих
приближений не является пригодным, то необходимо решить интегро-
дифференциальное уравнение численно. В этом случае можно также
воспользоваться обобщением вариационного метода Гультена (см. гл. VII, §
6). До обсуждения результатов, полу-
§ 6. ОБМЕННЫЙ ЭФФЕКТ ПРИ УПРУГОМ РАССЕЯНИИ ЭЛЕКТРОНОВ 261
ченных при исследовании обменного эффекта, необходимо обратить внимание
на некоторые недостатки приведенного выше вывода уравнений (10.12).
Возвращаясь к гл. VIII, § 4, мы видим, что волновая функция должна
удовлетворять соотношениям ортогональности
Приближенная форма функции (10.10), не содержащая члена ср, не будет
удовлетворять этим соотношениям. Члены, отличные от нуля, при этом всегда
связаны с членом нулевого порядка в разложении в ряд функций F0 и G0. Для
значений п, отличных от нуля, уравнения (10.12) с этой точки зрения можно
поэтому считать удовлетворительными. При га = 0 не существует, однако,
вполне удовлетворительного способа решения рассматриваемого вопроса, в
особенности для симметричного случая. Некоторые результаты могут быть тем
не менее получены для антисимметричной функции. Полная волновая функция,
описывающая столкновение и обладающая правильными свойствами симметрии,
имеет вид
2-V*[\F(rlf г2)-^(г2, г,)]. (10.22)
Это выражение может быть записано в форме
Если бы разность F0 (г) - G0 (г) могла быть ортогонализирована по
отношению к функции ф0, то это означало бы приближенное выполнение
соотношений (10.21). Финберг [29] показал, что если задано решение F0(r)
- G0(r), то функция (10.22) останется неизменной, если мы добавим к этому
решению произведение функции ф0 на некоторый постоянный множитель. В
связи с этим Финберг заменил разность F0 (г)- G0 (г) выражением вида
