Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
предположим, далее, что как в исходном, так и в конечном состояниях
момент количества движения ядра равен нулю и что ни одна из
рассматриваемых частиц не обладает спином.
Уравнение Шредингера в рассматриваемом случае может быть записано в форме
(H-E)W== [ _^у? + Яв(гв) + У1(г1> га)-?] W=0, (8.101)
где На - оператор Гамильтона, характеризующий внутреннее движение в
системе А, V (г1; га) - энергия взаимодействия, гх - относительные
координаты, Мх - приведенная масса частицы 1 и системы А. Это уравнение
может быть также записано в форме
(Я-?)ЧГ= [_g^V! + tfb(rft)+F2(r2, rb) - ?] Ч' -0, (8.102)
где гь - внутренние координаты системы В, г2 - относительные координаты
частицы 2 и системы В. Обобщая метод, изложенный в § 4, п. 1, подобно
тому, как это было сделано в § 4, п. 2, получаем точные уравнения:
(VI + ^r^^^rJFiK, гa)Wdza, (8.103) (V| + й|) G (r2) = ^ <?* (r6) F2
(r2f rb) Wd4, (8.104)
где <J) и ср -волновые функции, относящиеся соответственно к исходному
состоянию системы А и конечному состоянию системы В, а
к1=я**Мг{Е_Еау, Щ = ^{Е-ЕЬ). (8.105)
Для решения уравнений (8.103) и (8.104) необходимо сделать какое-либо
определенное предположение о приближенной форме функции 'Г. До сих пор мы
предполагали, что
? = F(r1)<!)(ra) + G(r2)<p(r6); (8.106)
сейчас существенно, однако, ввести в рассмотрение член, описывающий
состояние комплекса сталкивающихся частиц.
Мы предположим, что существует невырожденный энергетический уровень Ее
комплекса, расположенный к Е ближе, чем Beef остальные уровни. Квантовое
число, определяющее полный момент количества движения, соответствующее
этому уровню, мы обозначим через I. Если направление полярной оси
совпадает с направлением падающих частиц, то 2-компонента момента
количества движения должна равняться нулю. Если ус(га, гь) -вол-ч новая
функция, описывающая такое состояние комплекса, то
§ 8. МЕТОД КОМПЛЕКСА СТАЛКИВАЮЩИХСЯ ЧАСТИЦ 197
МОЖНО положить
^ = F (ri) <J) (г0) + G (г2) <р (гь) + сус (га, п), (8.107)
пренебрегая при этом влиянием остальных состояний комплекса. Здесь с -
постоянная, которую мы должны будем определить. Подстановка (8.107) в
(8.103) и (8.104) дает
= cUle (r1)Pl (cos 0*) + 8-^i 5 Г (r0) 7* (rb) G (r2) d.a, (8.108) (Vl +
^-f/2)G(r2) =
= Ct/2c (r2) P, (cos 02) + ^ $ 9* (rb) (Га) P (rx) *t> (8.109)
где
tfi = ^$*4*(r")l**af (8-1Ю)
^ = ^^^2|<?(гь)|^ть, (8.111)
uic (1-0 Л (cos 00 =^i 5 Ф* (ra) V{Aed*a, (8.112)
Vic Ы Pi (cos 02) = J <?* (rb) 72Ze d4. (8.113)
Угловая зависимость интегралов (8.112) и (8.113) определяется выбором
условий, налагаемых на моменты количества движения. Поскольку
предполагается, что переходы происходят почти исключительно путем
образования комплекса, а не непосредственно, мы можем пренебречь
интегралами, фигурирующими в правой части уравнений (8.108) и (8.109). По
той же причине можно предположить, что в пределах комплекса поле Ult
вызывающее обычное упругое рассеяние, мало. Аналогичное предположение
может быть сделано также и относительно U2.
Решения уравнений (8.108) и (8.109), удовлетворяющие требуемым граничным
условиям, могут быть найдены с помощью метода, изложенного в гл. VI, § 3.
При этом получаем
F (г) = 2 р (2s+ ^ e%Tl^s (r)Ps (cos 6)-[t/? (r) 4-/гi (/•)] Pi (cos 0),
(8.114)
где /s (/•) есть решение уравнения
конечное в начале координат и обладающее асимптотической формой
fs ~ (^v)-1 sin (jci? -
¦jSTC + ^ls^. (8.116)
198
ГЛ. VIII. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ АТОМНЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ
Здесь hi с дается выражением
со
uu=^Ulc(r)fi{r)r2dr, (8.117)
о
а функция ht (г) определяется соотношением
СО г
тМ-)=Ш 5 uicfir'4r'+f\(r) j Ubff'-W, (8.118)
г О
где /[ - второе решение уравнения (8.115), имеющее асимптотический вид
fi ~ cos (kf - у Ы + т]г^ .
Отметим, что при r-^co hl{r)->f\(r).
В разложении (8.114) функции F (г) в ряд первый член описывает
совокупность падающей волны и волны, рассеянной полем Ult второй член -
испускание частицы комплексом. Дифференциальное сечение для упругого
рассеяния при этом равно
/упр. (0) = | i 2 - 1) (2(r) + 1) P. (COS 6) -
S
- ( - г)! cel1>iulcPl (cos0) 2. (8.119)
Аналогичным образом находим
G (г) = - A;2CK2c[igi (f) + ii(r)] (cos 0), (8.120)
где индексы имеют тот же смысл, что и выше. В этом случае
падающая волна отсутствует. Дифференциальное сечение для столкновений,
сопровождающихся перераспределением частиц, равно
/пер. (0) = | С |*| и2с [2 [Р, (COS 0)]*. (8.121)
Остается теперь найти постоянную с, которую мы выберем таким образом,
чтобы
^•/*(tf-?)'FdTdTa = 0, (8.122)
где функция 'Г определена в приближении (8.107)х).
Поскольку
(Н-Е)Хсъ(Ес-Е)ух,
*) Это может быть доказано следующим образом. Предположим, что
ортогональные и нормированные функции у.п являются решениями уравнения
(.Н'-Еп) /" = 0,
где оператор Гамильтона Н' отличается от Н малым членом Н^. Под-
§ 8.' МЕТОД КОМПЛЕКСА СТАЛКИВАЮЩИХСЯ ЧАСТИЦ
имеем
^ X*(H-E)cycdxdza ** с(Ес - Е). (8.123)
Уравнение (8.108) дает, далее,
(Н _ Е) Е) = [ - ^ (V* + к() + Vx (r" r") ] F6 =
