Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
к получению ряда собственных функций 7п(г, г0, гь) и собственных значений
?" (г). Эти функции можно классифицировать по" характеру их изменения при
больших г. Индексом п мы будем характеризовать то значение энергии,
которое при г -со стремится к Еп, где Еп - собственное значение уравнения
[#в(гв) + Я4(гь)-Е]\Р- = 0. (8.91)
Энергия гп (г) может быть при этом представлена в виде
(r)п (г) = Еп - г1П (г), (8.92)'
где v)n->0 при г ¦-> оо. Функции уп взаимно ортогональны и нормированы по
отношению к координатам га, г& при всех значениях параметра г. Функцию ?
можно поэтому представить¦ в виде
ЦТ = 2 Mr. la, rb)Fn(r). (8.93)
П
Как и прежде, нас будет интересовать отыскание вида функций Еп(г),
имеющих асимптотическую форму (8.20), соответствующую расходящимся
волнам.
Подставляя (8.93) в (8.89) и принимая во внимание, что
[ - На (та) - Hb (r") - V (г, гв, г6)] у" = [т]" (г) - Еп) уп, (8.94)
получаем
2 вЙй (F'п у'п + 2 grad^" ' gradrУп + 7-nV^n) =
П
^^\En-rin{r)-E]ynFn. (8.95)-
П
Умножим обе части этого уравнения на и проинтегрируем, по координатам г,
и г(. Воспользовавшись соотношением
^ it gradr уп dxa dxb = 0,
находим
V*En+ [?-?"+ rn(г)] Fn =
= - S И sSm 7:^rymdx(d-.b -
m
- 2 2 8Sm grad Fm W ' S S У* gradr
m^n
Эти уравнения заменяют уравнения (8.48), полученные нами путем разложения
невозмущенных волновых функций в ряд. Для* отыскания приближенных решений
этих уравнений мы восноль-
192 ГЛ. VIII. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ АТОМНЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ
зуемся методами, совершенно аналогичными тем, которые были применены в §
5.
Пренебрегая всеми недиагональными матричными элементами, за исключением
тех, которые относятся к исходному состоянию, получаем
Ч*Р*+ -/%-hod^d4) F0 = О,
^lFn -f { h-}j- [E-En + rm (/•)] -!- ^ ^ 7*n~hnd^ad4 j Fn =
= - F0 ^ '/.iSr/od^ad^b - 2grad F0 \ ^ /J gradry0dzadzb. (8.96)
Эти неоднородные уравнения могут быть решены точно таким же методом, как
и уравнения (8.51а) и (8.516).
Для сопоставления их с уравнениями, полученными нами путем разложения
невозмущенных волновых функций в ряд, мы воспользуемся в качестве функций
уп решениями уравнения (8.94), полученными с помощью первого приближения
теории возмущений в предположении, что V мало. Эти решения имеют вид
Ул г J] Утпт'т __ тфп_________ __ , у . 'V4 V птУти
/п Еп-Ет 2j Еп-Ет'
тфп
•где
Vnm = ^ ^(г, га, Г6)^* (га, Г4)^"(га, Г*) dzad-4.
Тогда из уравнения (8.96) получаем
?" - Г""(л)[ +
+ 2 фкг [ + т <?'"-?"> ]у-}=
тфп
р Г X2Von Y Утп\2гУ"т ~|
Г°1Е0-Еп ZJ (Еп-Ет)(Ет-Е0) J
тфп, О
s • <8'эт>
тфп
Пренебрегая в правой части (8.97) матричными элементами, относящимися к
состояниям, отличным от начального и "-го, получаем уравнение
n2z? I 8rc2Af г р р if /гМ7? Ео\2Уап
VFn +-J^lE~En~ ~ Ёп-Ей ~
2gradfii • grad Крп Еп-Е0
§ 8. МЕТОД КОМПЛЕКСА СТАЛКИВАЮЩИХСЯ ЧАСТИЦ 193
Решая это уравнение с помощью метода, применявшегося нами в § 3, и
воспользовавшись дифференциальным уравнением для F0, находим
дифференциальное сечение, соответствующее процессу возбуждения
т /п\ j кп 4я2М2
х I S С1 Го. (r')P" (И, V) 5. (г\ .-в')*' I'.
Мы видим, что эта формула отличается лишь членом
V оо-V пп k*-kl
от формулы, полученной нами с помощью метода искаженных волн. Точного
совпадения этих двух формул и не следовало ожидать, поскольку исходные
предположения, лежащие в основе их вывода, различны. Если V (г, га, гь)
мало, то эта формула сводится к формуле Борна, отвечающей случаю больших
скоростей столкновений. Если, однако, взаимодействие велико, то метод,
описанный в этом параграфе, справедлив только в том случае, когда
относительная скорость при столкновении мала по сравнению со скоростями
внутреннего движения в рассматриваемых системах.
Тем не менее, если возмущенные волновые функции могут быть получены с
достаточной степенью точности, вычисление амплитуд рассеяния описанным
выше методом должно привести к более точным результатам, нежели
предыдущие методы, поскольку взаимодействие между возбужденными
состояниями при этом до некоторой степени автоматически включено в
исходное приближение. В частности, этот метод особенно пригоден для
рассмотрения процессов ионизации и возбуждения атомов тяжелыми частицами,
например положительными ионами или мезонами, когда скорость
относительного движения меньше орбитальных скоростей рассматриваемых
атомных электронов. Благодаря сравнительной трудности получения точных
значений возмущенных функций этот метод не нашел еще пока должного
применения. Некоторые его приложения будут рассмотрены нами в гл. XII, §
3.
§ 8. Метод комплекса сталкивающихся частнц
Исследование общей задачи о рассеянии связано с решением бесконечного
ряда совместных уравнений:
(^+Ai)Fn(r) = ^(2+5)7nmF"'^ = 0'1>2' <8>98)
1*5 *
l,j Н. Мотт и Г. Месси
194
ГЛ. VIII. ОЩЦАЯ ТЕОРИЯ АТОМНЫХ СТОЛКНОВЕНИИ
при наличии граничных условий
F0 (г) eihz -f- г-1/ (б, cp) eihr, Fn (/•) г~л^п (б, cp) eifc>*r. (8.99)
Выше были рассмотрены различные приближенные методы решения этих
