Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
При малых скоростях метод искаженных волн дает, таким образом, слишком
большие значения вероятности передачи энергии (см. гл. XI, § 3 и 5, и гл.
XII, § 3).
2. Случай неточного резонанса. Когда резонанс не является точным,
получение точного аналитического решения системы уравнений (8.58)
оказывается невозможным. Однако можно воспользоваться тем
обстоятельством, что в большинстве практически важных случаев волновые
числа к и кп, измеренные в атомных^ единицах 1/я0, очень велики.
Изменения F0o, F"n и Fon на рас-
486
ГЛ. VIII. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ АТОМНЫХ СТОЛКНОВЕНИИ
¦стоянии порядка длины волны в таком случае очень малы, и для получения
приближенного решения может быть использован метод Джефриса (гл. I, § 6,
и гл. VII, § 6). Это решение особенно пригодно в том случае, когда
потенциальная энергия велика. Задача заключается в отыскании решений Fо,
Fln уравнений
[^- + А2 - ^оо - FI =U0nFln, (8.70)
Fn = UonFlo, (8.71)
•обладающих асимптотическими формами
Fl0 4 (2l + l) eiV° { sin - T lr' + r<o) +
+ 9o exp [г -у + j, (8.72)
Fln^f(2l+l)qlne*nr. (8.73)
KTl
Эффективные сечения Q0 и Qn для упругих и неупругих столкновений
определяются при этом соответственно выражениями вида
= (2^ + 1){l?o |2 + sm2Tjo-i?oil sin-f]!,
cos7]^}, (8.74) j
<?"=)feS(2Z + 1)l9n|2- (8-75)
Штюкельберг [4] получил "классическое" приближение, обобщив метод
Джефриса на случай системы уравнений и представив .функцию Fl0 в форме
Fl0 = /-1 ехр [А-i (?0 + hSt + h?S2 +...)]. (8.76)
Уравнение для Fl0, получаемое путем исключения функции Fln
из уравнения (8.65), может быть решено при этом, если мы прене-•брежем
членами второго и более высоких порядков относительно h.
Форма решения зависит от того, обладает ли функция /о (г) - /п (г)
вещественным положительным корнем Я; функции /о и /" здесь соответственно
даются в виде
. (8.77) :
tn = kl-Unn-l-V±^ . ' (8.78) :i
Наибольший интерес представляет тот случай, когда корень R "существует.
Штюкельберг показал, что в этом случае •
| qln р = е-2б (1 _ e-2S) sin2 (8.79)
s в. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ. СЛУЧАИ СИЛЬНОЙ СВЯЗИ 187
где
V*fhuln 4K"-U'nn){h+V fl-uln)
{
1/2 I r-И
(8.80)
л л
*= \ 8lol2 dr-^ gll* dr. (8.81)
Нижние пределы интегралов (8.81) определяются условиями равенства нулю
соответствующих подинтегральных выражений и даются выражениями
go, = ± (/о + /*) ± j К/о - fn)2 + 4t/02n]1/2 • (8.82)
Выясним теперь, каково соотношение между этой формулой и формулой,
даваемой методом искаженных волн:
СО
I <7n Р = •4-1 5 адо И э" w dr Г> (8-83)
о
где и tJn - собственные решения уравнений, которые мы получим из
уравнений (8.70) и (8.71), если положим правые части последних равными
нулю1). Подставляя приближенные значения функций (см. гл. I, § 6, и гл.
VII, § 6)
So (г) " )V4 sin (4 " + /о/2) (г > -о)- (8-84)
^)1/4sin(T,t+/na) (г>т). (8.85)
где г0 и гп - корни функций /0 и /п, и пренебрегая членами,
соответствующими значениям /•</•", гп, при которых функции убывают
экспоненциально по мере уменьшения г, находим, воспользовавшись "методом
быстрейшего спуска" 2) [5],
1(а = 2 50 sin2 т0; (8.86)
о0 отличается здесь от 8 только тем, что (/о - U%n)l!i заменено на /У2, а
т0 от т - тем, что g0 и gn заменены соответственно на /0 и /п. Таким
образом, сопоставляя (8.86) с (8.80), мы видим, что
О 30 и %п должны обращаться в нуль при г = 0 и обладать следующими
асимптотическими формами:
2fo~sm(*r- -ihc + g^ gn ~sin^"r-~ lx + xn) ¦
2) В литературе этот метод называют так же "методом перевала".
(Прим. ред.)
188
ГЛ. VIII. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ АТОМНЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ
при "классических" условиях, когда к и кп велики, метод искаженных волн
будет давать хорошее приближение при условии^ что
[^oo-O/o'Vh
< 1.
(8.87)
Следует ожидать, что при классических условиях, соответствующих формуле
(8.80), рассматриваемый процесс может быть исследован во всех своих
деталях. На фиг. 19, а приведены кривые, характеризующие ход
потенциальной энергии взаимодействия сталкивающихся систем в исходном и
конечном состояниях.
R R
Фиг. 19. Взаимодействие потенциальных кривых в точке пересечения.
На бесконечном расстоянии кривые I и II стремятся к пределам,
отличающимся друг от друга на величину Ъ? (к- - к?)/2М. При отсутствии
взаимодействия между обоими уровнями кривые пересекались бы в точке r = R
и возможность перехода с одной кривой на другую была бы при этом
исключена. При конечном значении U0n пересечение невозможно; форма
соответствующих кривых вблизи точки r = R показана на фиг. 19, б.
Проследим теперь за изменением состояния аистем, начиная от исходного
состояния А. Точке пересечения кривых отвечает вероятность Р перехода
систем от кривой I к кривой II. В любом случае системы будут продолжать
сближаться друг с другом до тех пор, пока потенциальный барьер сил
отталкивания не станет чересчур высоким, после чего расстояние между ними
снова начнет увеличиваться. По возвращении в точку пересечения
вероятность перехода от любой из двух кривых ко второй кривой снова будет
