Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мотт Н. -> "Теория атомных столкновений " -> 21

Теория атомных столкновений - Мотт Н.

Мотт Н., Месси Г. Теория атомных столкновений — М.: Иностранная литература, 1951. — 446 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaatomnihstolknoveniy1951.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 160 >> Следующая

то характеристическое уравнение дает нам р2 = 0; решение, являющееся
конечным в начале координат, имеет, следовательно, вид
СО
F - 2 йпС".
л-0
Подставляя это значение F в уравнение (3.14) и приравнивая нулю
коэффициенты при С", получаем рекуррентную формулу
[га (га + 1) + (га +1)] а"+j = о" + у ,
откуда
"Л+1 =(l&)n+1 Д- (S+ 1)! >
8 - 0
F представляет собой, таким образом, гипергеометрическую функцию (см. §
3)
F = 1F1 ( - га; 1; iK),
где
В 2-ZZ'e2
<Z = - - --;--- .
2khv
Асимптотическое разложение функции F мы приводим в § 3; иэе Уравнения
(3.24) следует, что F = W1-j-W2, где при больших г
^0*^(1+**),
W2^(ik:)-i*~> е^.(-га),
5*
68
ГЛ. Ш. РАССЕЯНИЕ ПУЧКА ЧАСТИЦ КУЛОНОВЫМ. ПОЛЕМ
причем
Gi - i-
tk? 1
G i _, (1 + iot)2
ik$ 1 - ' ' '
С точностью до членов порядка ?-1 имеем
1
2*(r)
w, ~ 6 А --^ in
^ KKl~l (l + ia) V1 ("У*
_г 1теа ";
1У" ____ _ p-ialn*;!:
2 1' (-rf- ia) kZ 6 '
Функции Wx и будучи умножены на eihz, представляют соответственно
падающую и рассеянную волны. Нас интересует падающая волна с единичной
амплитудой; полную волновую функцию, характеризующую рассеяние, мы
выберем поэтому в виде х)
1
ф(г, 0) = е 2и"Г(1 + г*) U **С). (3.15)1
где
2itZZ'e2 _ ..
а = -г- ,, С = г -г = г(1-cos").
hv
Асимптотическая форма этой функции
<|>~/ + <У/( 6),
где
/ = [-* ^a (r^-z)J exp [iftz-j-talnk(r - z)]t
S = r~* exp (i'Ar - ia In kr),
''' ¦ " ; ' 77/p* ' ¦' 6'
/ (0) = cosec2 Y exp [ - га In (1 - cos 6) + йс + 2r"]0], (3.16.;
причем
c2ir)n_-r Н + *а)
1 (1-fa) •
Заметим, что Z' в этих формулах равно +2 для a-части^ и -1 для
электронов.
1) Зоммерфельд [4] полагает
- ' ' ¦ -1 ! '
--теа . ____
¦и (г, 0) = е л elkT \ xiae~xJ0 (2 Yikix)dx,
где J0-функция Бесселя.
§ 3. ОБОБЩЕННЫЕ . ГИПЕРГЕОМЕТР,ИЧЕСКИЕ РЯДЫ 69
Волновой фронт падающей и рассеянной волн характеризуется соответственно
функциями (3.10) и (ЗД1).
Интенсивность рассеяния 7(0) определяется выражением
т. е. формулой Резерфорда.
Примечание. В начале координат функция (3.15) дает
' ..'13.17)
В случае сил отталкивания, действующих, например, между а-частицей и
ядром, а положительно. Если а велико и положительно; как, например, для
медленных а-частиц, то | ф |2 в начале координат очень мало. Это
означает, что к ядру приближается очень мало а-частиц. Если а велико и
отрицательно, как, например, для медленных электронов, то | ф |2 в начале
координат достаточно велико - порядка |а|. Если же а мало, то функция
(3.15) во всех точках пространства не отличается заметным образом от
плоской волны eikz.
Условие малости а является также условием применимости приближения Борна
(см. гл. VII), рассматривающего V (г) как возмущение. В этом легко
убедиться, выбирая при записи волнового уравнения за единицу длины 1 /к,
vy+(i~)y=-o.
§ 3. Обобщенные гипергеометрические ряды >
В этом параграфе мы ознакомимся с некоторыми свойствами функции
.">("; * г) = '+Лг+Т(гШг2 <3-18)
рассмотренной в § 2. В дальнейшем мы будем отбрасывать индексы при F, так
как какими-либо другими функциями гипер-геометрического типа мы
пользоваться не будем. Функция Мк, т (z), введенная Уиттекером [5]
(конфлюентная гипергеометрическая функция), связана с функцией xFi
соотношением
Mk,m = zm+2e 2 2^1 -f т - к:, 2m+l; .
Заметим, что F (a; b; z) является решением дифференциального уравнения
*& + <!>-г)%-ау = Ъ. - (3.19)
70 гл. Hi. РАССЕЯНИЕ ПУЧКА ЧАСТИЦ КУЛОНОВЫМ ПОЛЕМ
Had интересует асимптотическое разложение функции F (a; b; z),
¦справедливое для больших значений | z | при постоянных значениях а й Ь.
Это разложение является общеизвестным [5]. Мы приведем его здесь в виду
его важности для решения задач, связанных с кулоновыми силами, причем
ограничимся рассмотрением того случая, когда Ъ - целое положительное
число, a z - комплексная величина.
Представим функцию F в виде интеграла, взятого по контуру. Для этого
воспользуемся теоремой, согласно которой для любого положительного целого
тп
г
где у - произвольный замкнутый контур, охватывающий начало координат и
направленный против часовой стрелки. Доказательство этого соотношения
элементарно.
Функция F может быть записана в следующей форме:
ое
6; ..) = (Ь-1)1 s ,
п==о
где с" - коэффициент при хп в разложении бинома (1 - х)~а. С помощью
соотношения (3.20), полагая m = b + n - 1, получаем
оо
F(a; b; z) 2 cnz"
л = 0 т
Выбирая контур у таким образом, чтобы для всех его точек удовлетворялось
условие
I 2
t
<1, (3.21)
мы можем представить порядок суммирования и интегрирования, так как ряд
сходится при всех значениях t. В результате получаем
F (а; Ь; z) = <~il! ^1 -1.) ~aelt~4t. (3.22)
f
Заметим, что, в силу соотношения (3.21), контур интегрирования у должен
охватывать точку t = z. Мы можем поэтому, не изменяя численного значения
интеграла, преобразовать y в любой замкнутый контур, охватывающий точки 2
= 0 и t = z. Ясно, далее,' что выражение, стоящее под знаком интеграла,
является однозначной функцией t.
Для нахождения асимптотического разложения функции (3.22) преобразуем
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed