Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
№ 9, 1945.
8. Massey and Mohr, Proc. Roy. Soc., A141, 434 (1933).
9. Wergeland, Kgl. Dansk. Videns. Selskab, 23, 14 (1945).
10. Kapur and P e i e r 1 s, Proc. Roy. Soc., A166, 277 (1938).
Глава III
РАССЕЯНИЕ ПУЧКА ЧАСТИЦ КУЛОНОВЫМ ПОЛЕМ
§ 1. Введение
Если пучок заряженных частиц, обладающих зарядами Z'e,' в котором за
единицу времени через единицу площади поперечного сечения проходит одна
частица, рассеивается отдельным ядром, обладающим бесконечно большой,
массой и зарядом Ze, то, согласно механике Ньютона, число частиц I (6)
dot, рассеянных за единицу времени на угол 0 внутри телесного угла dot,
определяется выражением
' t<3')
где т и v - масса и скорость падающих частиц. Впервые фор-, мула (3.1)
была получена Резерфордом; ее доказательство приводится в различных
учебниках [1], и мы не будем здесь на нем останавливаться. Эта формула
находится в согласии с экспериментальными данными о рассеянии а-частиц
тяжелыми ядрами.
В этой главе мы покажем, что точно такую же формулу дает и волновая
механика. Рассмотрим вопрос о рассеянии потока заряженных частиц
(электронов или а-частиц) тяжелым ядром, причем предположим, что сила
взаимодействия между частицей и ядром обратно пропорциональна квадрату
расстояния между ними. В таком случае:
V (г) = - - для электронов
и
2 Ze2
V (г) = -р- для а-частиц,
где Z -атомный номер рассеивающего ядра.
Запишем в общем виде
У(г) = Щ?, (3-2)
где Z'e - заряд рассеивающейся частицы, причем Z' положительно или
отрицательно в зависимости от того, заряжена ли эта частица положительно
или отрицательно. Волновое уравнение имеет в таком случае вид
vt + т (в-(3.3).
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
65
Покажем, что решение этого уравнения может быть получено в следующей
асимптотической форме:
Ф~/ + 5/(0), (3.41
где I характеризует падающую волну, S - рассеянную волну и
<35>
В гл. II было отмечено, что приведенный нами метод вычисления амплитуды
рассеянной волны пригоден лишь в том случае, когда при возрастании г до
бесконечности V (г) стремится к нулю быстрее, нежели г'1. Это связано с
тем обстоятельством, что ограниченное решение Ln(r) уравнения
<зв>
имеет асимптотическую форму1)
(Ar)-1sin (jtr- гкс + 7]" - аЫ2кг^, где а - 6 , (3.7)
отличающуюся от функции (2.15) наличием логарифмического члена. Гордон
[2] показал, однако, что в соответствии с уравнением (2.16) волновая
функция, описывающая рассеяние, имеет вид
СО
Ф (г> 9) = S (2га + ineiT,nLn (г) Рп (cos 0). (3.8)
П = 0
Он показал также, что эта функция может быть представлена в следующем
виде2):
е-1/2л*Г(1 га)е**гс08в1/г'1 [ - га; 1; ikr (1 - cos 0)], (3.9)
л имеет асимптотическую форму
/ + 5/(в),
где
/ = exp [ikz + га1п к (г - z)], (3.10)
S - г~г exp (ikr - ia In кг), (3.11)
|/(0)| определяется выражением (3.5), а фаза / (0) - уравнением (3.16).
Функции (3.10) и (3.11), характеризующие соответственно
падающую и рассеянную волны, отвечают кулонову полю. Эти функции могут
быть получены следующим образом.
О Это доказывается в § 4, где определяется' значение ijn.
2) Функция 1F1 определена, в. § 3. .
° Н. Мотт и Г. Месси
66 гл. III. РАССЕЯНИЕ ПУЧКА ЧАСТИЦ КУЛОНОВЫМ ПОЛЕМ
Если мы будем рассматривать все классические гиперболические орбиты с
одной общей асимптотой, направленной справа налево параллельно оси z, то
мы должны ожидать, что фронт падающей волны окажется нормальным ко всем
этим гиперболам. На больших расстояниях от ядра поверхность,
перпендикулярная к этим гиперболам, будет определяться не уравнением z -
const, но, как это было показано Гордоном [2], уравнением
z + ZZ-| In к (г - z) = const.
1 mv2 ' '
Падающая волна даже на бесконечно большом расстоянии искажена ядром, с
которым она сталкивается. Мы должны поэтому ожидать, что она будет
описываться функцией
ехр | ift ? z + In А (г z)] | .
которая эквивалентна функции (3.10). Функция (3.11), характеризующая
рассеянную волну, может быть получена аналогичным образом.
В следующих параграфах мы покажем, что выражение (3.9) является решением
волнового уравнения и что оно обладает асимптотической формой,
определяемой функциями (3.10), (3.11) и (3.5). При этом мы не будем
пользоваться разложением (3.8), применяемым в теории Гордона, но будем
решать волновое уравнение непосредственно. Впервые подобный метод был
предложен Темплем [3].
§ 2. Решение волнового уравнения для случая рассеяния кулоновым полем
Мы будем решать волновое уравнение
= (3.12)
где
q о о mZZ'e2
Р = 8"*-.
Полагая
ф = eikzF,
получим
W + 2"Agj-H = 0. (3.13)
Это дифференциальное уравнение обладает решением вида
F = F (r - z).
2. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВ. УРАВН. ПРИ РАССЕЯН. КУЛДЦОВ^ ЦрЛЕМ 67
Воспользовавшись этим, получаем ..., ,
2 (l - у)*" + у F' + 2ik (у - i)F' -= 0.
Умножив это уравнение на г, мы убеждаемся в том, что переменные г и z
входят в него только в виде разности (г - z) откуда следует, что решение
искомого типа действительно существует. Полагая
t = r - Z,
имеем
Если в качестве решения мы выберем функцию F = V{l + a? + a2?+ ...),
