Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
kg уравнения
(ki-U)&s = 0 (2.52)
dr2
внутри этого интервала. Величина к\ в общем случае комплексная и является
некоторой функцией к. Функции (c)а взаимно ортогональны, так что
U
(r)e(r)S'dr = 0
о
Эти функции могут быть нормированы к единице:
а
^ |@aj2dr = 1. о
Разложим теперь функцию G0, являющуюся решением рассматриваемой нами
задачи о рассеянии, в ряд1) по функциям @а и А3 в интервале 0О <а.
Разумеется, функция G0 не удовлетворяет тем же граничным условиям, что и
функция @а; однако любая функция вида {G0-~ х) должна удовлетворять этим
условиям, если
7.(0) = 0, (2.53)
" (§)а~^Х = /е_Ш1' (2-54>
а функция х является собственной функцией в области 0<г<а. Разлагая G0 в
ряд по функциям (SJa, имеем
= 2 as&s + 7> (2.55)
где
-гка
о о (2.об)
bs = ^ (c)S х dr, Ns= ^ @3 dr.
1) Выбор частного ряда функций (c)s для этого разложения может
показаться весьма произвольным; для решения задачи многих тел этот метод
представляет, однако, большой интерес (см. гл. VIII, § 8).
g 7. ДИСПЕРСИОННАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ СЕЧЕНИЯ РАССЕЯНИЯ 61
Подставляя это значение G0 в выражение (2.50) и используя уравнение
(2.49), получаем
+ е-"ах (а)- 2 (а). (2.57)
Эта формула справедлива для всех функций */, удовлетворяющих уравнениям
(2.53) и (2.54). Мы можем при этом выбрать у таким образом, чтобы оба
последних члена выражения (2.57) были сколь угодно малыми, положив,
например,
и выбирая множитель С так, чтобы удовлетворялись граничные условия при г
- а, и требуя, далее, чтобы а стремилось к бесконечности. Сохраняя в
связи с зтим в (2.57) только члены, заключенные в фигурные скобки, мы
получаем для парциального сечения нулевого порядка формулу вида
Воспользовавшись дифференциальным уравнением для (SJs, имеем, далее,
так как (SJs обращается в нуль при г = 0.
Сумма, входящая в выражение (2.57), является характерной для теории
дисперсии в среде, содержащей ряд осцилляторов с энергетическими уровнями
Es естественной ширины Га. Второй член этого выражения характеризует
экранирующее влияние рассеивающего поля и известен в ядерной теории как
"потенциальное" рассеяние. Он совпадает со значением амплитуды волны,
которая была бы рассеяна непроницаемой сферой радиуса а.
Изложенный метод может быть обобщен на те случаи, когда момент количества
движения отличен от нуля и когда в дополне-
у - Сге~а(а~г)
2_-2i ка
Здесь
а
о
Граничное условие (2.51) дает
Г8 = К |2,
(2.60)
62 ГЛ. II. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ПУЧКА ЧАСТИЦ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ
d*Gn , f 1,2 п (п + 1) dr2
ние к полю, сосредоточенному в области а, имеется поле, потенциал
которого постепенно убывает, обращаясь в бесконечности в нуль быстрее,
чем г~2 *). Функция Gn, описывающая рассеяние, удовлетворяет в этом
случае уравнениям
^ + [ ** " nJ^ -U (г)-W (г)] Gn = 0 (г < а), (2.61)
^_nJn+A)_W{r)^Gn = Q (г > а). (2.62)
Функции @3 при 0<г<а должны теперь удовлетворять уравнению (2.61). Как и
прежде, они обращаются в нуль при г = 0, но при г = а условие (2.51)
следует заменить условием
5 = /(c)*, (2-63)
где
4?' ' (2-б4>
Функция Gn является решением уравнения (2.62), имеющим асимптотическую
форму
(2.65)
С помощью тех же приемов, что и выше, получаем для парциального сечения
и-го порядка выражение вида
?(2п + 1)
W*e2ir,n
+ 2е"1" sin fjn
(2.66)
Значения Es, Fs и Ns при этом определяются выражениями (2.59) и (2.56).
т)" представляет собой фазовое смещение волны л-го порядка, обусловленное
полем V, причем
8^2т гт ттт / \
V = W (г > а),
Л2
8 *2т А2
оо (г = а). (2.67)
Второй член выражения характеризует амплитуду волны, рассеянной этим
полем.
Величина ws связана с функцией @s(a) теперь уже не формулой (2.59), но
соотношением более общего вида:
["нпб-п]'''*•<")-"•• I2'68)
*) Обобщение на случай кулонова поля дано в гл. III, § 5.
ЛИТЕРАТУРА
63
При таком определении wa, как и прежде,
Г3 = | га312.
Если W (г) = О, то
/ - /* = 4г (arc [72 i(&а) + /2 4 (Аа)]}-1. -п_2 "+2
Если, далее, Аа мало, то
Это дает
г< " *?= (2Ь)2"М I(r). (") I' [да]' • <2 вЭ)-
Следует отметить, что в рассмотренном нами общем случае выбор величины а
является в значительной степени произвольным. В любом случае мы должны,
разумеется, получить один и тот же окончательный результат; относительная
роль членов, характеризующих дисперсию и потенциальное рассеяние, может
при этом, однако, меняться в значительных пределах. Тем не менее при
решении практических задач вопрос о выборе величины а в большинстве
случаев решается вполне однозначным образом (см. гл. VIII, § 8).
ЛИТЕРАТУРА
1. Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа, М.-Д., .
1934.
2. Рэлей, Теория звука, т. I, М.-Л., 1940.
3. F а х 6 n and Н о 11 s ш а г k, Zs. f. Phys., 45, 307 (1927).
4. W i g п е г, Zs. f. Phys., 83, 253 (1933).
5. Breit, Thaxton and Eisenbud, Phys. Rev., 55, 1018 (1939);
P 1 e s s e t and Brown, Proc. Nat. Acad. Sci., 25, 600 (1939).
6. Hulthen, Ark. Math. Astr. Phys., 29 (1942). ,
7. Wergeland, Skrif. Norske Videns. Akad. Oslo, Mat.-Nat. Klasse, .
