Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
будут использованы нами в гл. XIII, § 1, при рассмотрении вопроса о
взаимодействии между нейтроном и протоном.
3. Фазы и парциальные сечения высшего порядка. Для определения •")" мы
должны найти асимптотическое решение уравнений
^+D]G = o (r<a),
g+[*-^]G = 0 (/•>"),
обращающееся в нуль в начале координат.
J) Для виртуального уровня, при котором ка мало, к примерно равно тому
значению к, для которого ir)0 = ^/4 [5].
Другое определение было дано Гультеном [6]; в случае сферической
потенциальной ямы при ка <? оно согласуется с формулой (2.34).
§ з. рассеяние: потенциальной ямой
51
Такое решение имеет вид
АгЧ* J | (к'г) (г < а),
п+тг
(2.36)
кгУ* lcos J 1 (ftr) + (fi" 1)nsin 'Чп J 1 (*^)] (г > ah
\* У П4Т V -n-g-
Это следует из того обстоятельства, что [1]
Jn,± (kr) ~ (i)1'2 sin (*r - Jn\) > r 2
J L (kr) ~ (- !)" (i)1/2 cos (ft/> " Y n*) ¦
" 2
Воспользовавшись условиями непрерывности функций G и ~ при г = а, находим
"л
где
An = kJ . (к'a) J' . (ка) - k'J . (ка) J' , (к'а),
"+Т "+т п+т п+т
Bn = kJ t (k'a)J' j (ка) -k'J t (ka)J' t (A'a).
-n 2" ^ -n 2" n+~2
Используя соотношения [1]
xJ' . (x) = xJ .(%) - fn + 4')/ , (x),
n+T 4 ' n+T
xJ' A (x)=-(n + -^)J .(x) - xJ J (ж),
ч у -n-T -n+T
можно записать это выражение в несколько иной форме:
где
Cn = kJ t (k'a) J , (ка)-k'J , (ka)J 1 (к'a),
a-i-j n-n+~2 "-1
Dn = kJ j (k'a) J t (ka) + k'J t (ka)J t (k'a). *2
37*
n+T -n-T n-T
Для исследования вопроса о зависимости •/)" от скорости частицы мы
воспользуемся приближенными соотношениями,
4*
52 гл. II. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ПУЧКА ЧАСТИЦ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ
справедливыми.при малых значениях х[1]:
Т (r\ = (2ж)п п!
' W (2а + 1)1'
¦ с".. w ¦'К1+А) ¦
При малых ка это дает
tg ^ 4 (2а + 1)! (2га- 1)! ^ ^ Х
х [1 - 2^т 0" - 4) J с2*")2"+'•
где
fnz
J . (к'а) п+4г
к'а J j (к'а) п 2~
Отсюда следует, что при J , (к0а) Ф О
п~~г
й Ч* = 47sr+"7i?-i)i К2" + '>'¦ (°) - *1 f2*")2"*1+**
(s = 0, 1, 2, ...),
где
Если
то
J j (*"")
М°) = ^~м- <2-38>
J j (А0 д) - О,
ИГ"= ~еУц^-2)¦ <Ма>2"~'+Р-0,1,2,...). (2.39):
Этот результат до некоторой степени сходен с результатом, полученным нами
выше для фазы т;0. Случай J { (к0а) = О
"-у
дающий более медленную зависимость от скорости, отвечает су-2 ществованию
уровня с нулевой энергией и моментом количества движения, равным [га (и -
ь 1)у1*Ъ,. Если мы условимся, что при больших скоростях rj" должно
стремиться к нулю, ТО ЧИСЛО Si В формулах (2.38) и (2.39), как и в случае
фазы v0, будет определяться как число энергетических уровней с моментом
количества движения, равным [га (га + 1)]1/2Й. Это число никогда не
§ 4. РАССЕЯНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ БАРЬЕРОМ
53
может возрастать по мере возрастания п, так как увеличение момента
количества движения сопровождается увеличением центробежной силы, что
приводит к ослаблению связи.
Если ка мало, то численное значение г\п быстро убывает при увеличении п.
Ряд типичных кривых зависимости фазы от скорости приведен на фиг. 5, а.
Перейдем теперь к вопросу о возможных значениях парциальных сечений Qn,
равных
п 4s (2п + 1) sin* у]п
Чп- ^ •
Из (2.38) и (2.39) следует, что если п > 0, то Q-n никогда не стремится к
бесконечности при к~>0. Действительно, при п > 1 Qn всегда должно
стремиться к нулю, по крайней мере как ?4п-4 и обычно как к',п. Только в
том частном случае, когда п = 1 и Ji/2 (к0 а) = 0, сечение Qn стремится к
некоторому конечному значению при к-"0. В этом случае, воспользовавшись
соотношением
*W=(i)1/2sina:,
находим
lim^i = 12ка2.
*->о
Поскольку это имеет место тогда, когда к0а является кратным те (отличным
от нуля), т. е. тогда, когда limQ0 исчезает, отсюда
к - о *
следует, что предельное значение полного сечения при малых скоростях
никогда не может точно обратиться в нуль.
Типичные кривые зависимости эффективного сечения от скорости приведены на
фиг. 6, а.
§ 4. Рассеяние потенциальным барьером
Рассмотрим теперь тот случай, когда потенциал рассеивающего поля задан в
форме
V(r) = D (г < а),
V(r) = 0 (г>а).
Его можно рассматривать как частный случай поля отталкивания, которое при
больших значениях г убывает с расстоянием быстрее, чем г~2. Случай
непроницаемой сферы, для которой D стремится к бесконечности, будет
исследован нами отдельно в следующем параграфе.
54 ГЛ. II. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ПУЧКА ЧАСТИЦ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ
Записывай к'% == к% ~ к2, где ?§ = 8."2 mD/h2, имеем
т]0 = arctg ^ th А'сЛ - ка (к < к0),
Ход волновой функции иллюстрируется фиг. 3, б. Для сравнения приведен
также график функции G = smAr. Фаза \ отрицательна, ее численное значение
равно произведению длины отрезка АВ на к.
В предельном случае малых скоростей \ стремится к нулю независимо от
значения D. Эффективное сечение стремится при этом к конечному пределу
который всегда меньше, чем 4тта2, т. е. всегда меньше, чем та величина, к
которой оно стремится при очень больших D. Этот результат существенно
отличается от результата, полученного нами в рассмотренном выше случае
потенциальной ямы. Мы показали, что в случае потенциальной ямы аномальное
