Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
вероятность того, что частица окажется рассеянной в направлении (0, ср)
внутри телесного угла dm после испускания кванта
света с частотой в интервале между v и v-f-dv, электрический
вектор которого обладает направлением а, р внутри телесного угла dQ.
Уравнение Шредингера может быть записано в форме [-&k^ + V(r) +
Vi(Ps,<ls) + ffs(qs, г, р) -7? ] ЧГ = 0. (15.34)
Мы можем теперь воспользоваться непосредственно формулой
(7.32), , заменив в ней V (г, г0, гь) на Г (г) - H3(qs, г, р),
§ 9. ВЫВОД ФОРМУЛ ТЕОРИИ ИЗЛУЧЕНИЯ ПО МЕТОДУ БОРНА
439'
на Чпх(Я\)ЧпЛ{Н) ¦ ¦ ¦ ?ns (qs) (что соответствует наличию пъ п2, ...,
ns, ... квантов с частотами vb v2, ..., vs, ... в исходном состоянии), %
на срП1 (д^) "П2 (дг) ... <pns+i (qs) ... (в соответствии с пъ п2,
..., ns-i~i, . • • квантами с частотами vx, v2, ..., vs, ...
в конечном состоянии), dxadxb на dqs. Функции F0 и %п
$
будут удовлетворять уравнениям
[^+kln-^v}Fa, $я = 0, (15.35)
так как в этом случае
[П>-)-#з(<78,г,р)]Х
х IT"II2112 • • • I9"s|2- • • dg1dq2 ... dqs ¦ ¦- =F(/-) = F"". (15.36)
Используя хорошо известный результат для волновых функций осциллятора,
согласно которому
ОО
^ ?.T",(?.)?Zh-i Md<7.= (15-37)
имеем
Fon(r)= ^ г> Р)1Т"Л?з)т"5+1 Ы dqs =
Г (л.4- 1) h "I Щ i%e /8(tm)V/2 . , к OQ.
= [Н^Н 7irijr) smYsas.grad. (15.38)
Выясним теперь, какова роль отдельных осцилляторов с частотами vs при
определении величины /(б, ср; а, (3; v). Поскольку имеется всего 8тс Fvjj
dvs/c3 таких осцилляторов и полагая ns = О, Находим
/(8, ?! <*, Р; v)c2v =
Л\ $ "-в)а.8тТ. • grader', 0') dx' |2rfv. (15.39)
Множитель А обозначает здесь усреднение по фазам j3s.
При вычислении этого выражения отметим прежде всего, •что размеры
области, в которой произведение %п на F0 заметно отлично от нуля, не
превышают исходного или конечного знамения длины волны рассматриваемой
частицы. Эта длина волны -обычно значительно меньше длины волны
испускаемого излучения, так что в рассматриваемой области величину ys
можно •считать постоянной. Усреднение по фазам (3S эквивалентно поэтому
просто умножению на }/2 и опусканию множителя sin ys-
440 гл. XV. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ЗАДАЧИ О ДВУХ ЧАСТИЦАХ. ИЗЛУЧ.
Если мы предположим, что произведение F0^n убывает быстрее, чем г2, то
интегрирование по частям дает
^ g" grad F0 dx = у ^ (g" grad F0 - F0 grad gn) dx =
= l5r(g"V^0-^0V2gn)dx. (15.40)
Используя уравнения (15.35), которым подчиняются функции F^ и и учитывая,
что
7,2 7.2 8
а кп - ,
имеем окончательно
^ g" grad F0 = ^ ^ г%nF0dx. (15.41)
В рассматриваемом случае произведение F0%n не должно убывать быстрее, чем
г~2, однако можно воспользоваться предыдущим результатом, вводя и
подинтегральную функцию множитель сходимости е~ХТ и полагая после
интегрирования к->0. Мы находим при этом, что
/(б, <р; <*, Р; v)dv =
= Ца$. lim j г' е-^ gn {Г'," - 0) F0 (F', 6') dx' j* dy.
(15.42)
Интегрируя по всем направлениям испускания и поляризации излучаемого
кванта, получаем
{11 Мх |* + i I My |* +1 мг I* } dv, (15.43)
где
Мх ) Г
(r',K-(r))F0(r',Q')dx'. (15.44)
Это -обычная формула, используемая, например, Зоммерфель-дом [32],
Шерцером [33] и Мауе [34] при исследовании интенсивности непрерывного
рентгенова спектра.
Если падающая и рассеянная частицы обладают большими скоростями, однако
не столь большими, чтобы при этом необходимо было учитывать
релятивистские эффекты, до можно воспользоваться методом Борна (гл. VII,
§ 1), который дает во втором приближении
Fq ^ еШо-т_2(tm) ^ V (/•')9ХР - eikz' dx'. (15.45)
Функция gn определяется выражением аналогичного вида, с той разницей, что
к, п0 заменено на кп, п. Для того чтобы результат
. , 128^5w2v3 ; y)dv= 34v
Мх\ Г Iх'
My [ = lim \y
Mz J x~*° "
§ 10. ВЛИЯНИЕ РАДИАЦИОННЫХ СИЛ НА ЯДЕРНОЕ РАССЕЯНИЕ 441
имел конечное значение, эту задачу следует решать во втором приближении.
Аналогичный метод может быть использован также и при рассмотрении других
вопросов теории излучения. Исследуемые процессы могут быть при этом
классифицированы как процессы первого, второго или более высоких
порядков, в соответствии с тем, должны ли быть учтены члены первого,
второго или более высоких порядков при применении метода последовательных
приближений Борна для получения конечного результата. Таким путем можно
показать, что этот метод полностью эквивалентен обычно применяемому
методу Дирака, основанному на варьировании параметров при наличии
возмущений, зависящих от времени. С подробным изложением этого метода и
его приложениями читатель может ознакомиться по книге Гайтлера [1].
§ 10. Влияние радиационных сил на ядерное рассеяние
Если мы применим формулы (15.43), (15.44) и (15.45) к случаю рассеяния
электрона кулоновым полем V (г) = - Ze^/r, то дифференциальное сечение
для рассеяния электрона в заданном элементе телесного угла (1<л,
сопровождающегося испусканием кванта с частотой в интервале от v до v -j-
dv, определится выражением вида [35]
7(в,9; у)Л(гш = ^^1^^^70(в|?)(/(о, (15.46>
