Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Мы будем рассматривать электроны в отдельности друг от друга; положение
внутреннего электрона будем характеризовать вектором R; через Х;(11)
обозначим волновую функцию электрона в исходном состоянии в L-оболочке, а
через 7,(Н) -волновую функцию, характеризующую конечное состояние
электрона в А-оболочке. Волновую функцию, характеризующую исходное
состояние оптического электрона, обозначим через ф; (г), а волновую
функцию для конечного ионизованного состояния-через ф/ (г). Влияние
эффекта антисимметрии мы рассмотрим в конце этого параграфа.
Внутренний электрон может возвратиться на A-уровень, либо передав свою
энергию другому электрону, либо же испустив ее в виде светового кванта.
Вероятность последнего события, отнесенная к единице времени,
обозначается через Ли/, где А называется коэффциентом Эйнштейна. Согласно
любой нерелятивистской теории (с-" оо), коэффициент А равен нулю, так как
в отсутствие поля излучения атом должен оставаться в своем возбужденном
состоянии. Дираку [5, 43] удалось определить коэффициент А, трактуя поле
излучения как совокупность световых квантов, подчиняющихся законам
квантовой механики. До появления теории Дирака коэффициент А был
определен следующим образом [6].
Излучающая система-в нашем случае L-электрон-трактовалась как
классический заряд, распределенный с плотностью
р^.e_27liv^( -f-Комплекс, сопряж., (15.1)
где
P/i= ~ч*ъ-
Вектор тока, соответствующий этой плотности заряда, равен jfi е~2пгуК1 -
f- Комплекс. сопряж.,
где
3/i = еХ* Pi =% (уравнение Дирака),
j/i = 7~?- (У* grad X/ - X/ g^d У?) (уравнение Шредингера).
Согласно классической теории, такой плотности заряда должно отвечать
осциллирующее электромагнитное поле, излучающее энергию. Энергия,
излучаемая за единицу времени, может быть
§ i. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
425
вычислена. Разделив эту энергию на энергию светового кванта Ei - Ef , мы.
получим формулу, определяющую коэффициент А.
Ясно, что подобный метод вычисления коэффициента А представляет собой
неудовлетворительную смесь классической и квантовой механики; тем не
менее он может оказаться полезным при построении релятивистской теории
взаимодействия двух частиц. Найдем поэтому поле, обусловленное наличием
осциллирующей плотности заряда (15.1).
Согласно классической электромагнитной теории, скалярный, потенциал Ф и
векторный потенциал А, соответствующие такой плотности заряда,
определяются дифференциальными уравнениями вида
-4иР/,е-2"*^ + ..., (15.2а>
V2A-= -v + • • • (15.2б>
Для нахождения частного решения этих уравнений положим Ф = ср (х, у, z)
e_2,civ/i* + Комплекс, сопряж.,
А = а(х, у, z)e~2ni'*fit + Комплекс, сопряж., (15.3)
что приведет нас к уравнению f u2+4*av|A
С ^J <р= -4тср/4. (15.4>
Решение этого уравнения, описывающее расходящуюся волну, имеет вид
с \ /¦2*?V.J |г - г' I N
3 j г-Г' I ехР (-- С ) у'* 2')*'. (15.5>
При больших г с помощью асимптотической формулы (15.5) получаем
Ф^ г-i ехр [2шчп (^)J \ ехр ( _ 2"^ ° ' г ^ х
Xp/i(х',у', z')dx'+
где п = г/г. Аналогичное выражение получается также и для векторного
потенциала; в результате мы можем вычислить скорость излучения энергии.
Для нахождения вероятности того, что L-алектрон передаст свою энергию
оптическому электрону, мы будем поступать так, как если бы поле Ф, А,
определяемое функцией (15.5), существовало на самом деле, и исследуем его
влияние на оптический электрон, воспользовавшись с этой целью методом,
изложенным в гл. XIV, § 3. Вероятность испускания электрона возрастает с
течением времени только в том случае, если энергия,.
-426 ГЛ. XV. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ЗАДАЧИ О ДВУХ ЧАСТИЦАХ. ИЗЛУЧ.
получаемая электроном, равна ± Av/i. Вероятность испускания электрона за
единицу времени [см. формулу (14.29а)] определяется при этом выражением
вида
где ф/- волновая функция, описывающая конечное состояние электрона и
нормированная таким образом, что за единицу времени имеет место
испускание одного электрона.
Полагая в (15.5) с-> оо, получаем
Формула (15.6) сводится при этом к нерелятивистской форму-
Йри такой постановке задачи не имеет смысла ставить вопрос о том,
испускается ли оптический электрон в результате непосредственного
взаимодействия с L-электроном или же вначале имеет место испускание
кванта света, который затем поглощается "нова. Формула (15.6) учитывает
оба эти процесса.
В формуле (15.6) не приняты во внимание свойства антисимметрии волновых
функций нерелятивистской квантовой механики. Можно, однако, получить
формулу, которая при с-> оо будет стремиться к нерёлятивистской формуле,
содержащей антисимметричные волновые функции. Обозначим выражение (15.6)
через | А |2. Оно определяет вероятность того, что L-электрон перейдет в
нормальное состояние при сопутствующем испускании оптического электрона.
Аналогичным образом можно определить вероятность | В |2 перехода
оптического электрона в нормальное состояние, сопровождающегося
испусканием L-электрона. Искомое выражение имеет вид
