Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
скорости. R^i имеем
lira rj0 - lim j^arctg ^-ptg k'a^ - AaJ .
(2.31)
'§ 3. РАССЕЯНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМОИ 47*
Этот предел определен с точностью до члена, кратного*тс. Таким, образом,
lim^0=SK (s = 0, 1, 2,...), к0а Ф ; t-о А
lim^0 = -^(2s+1)я (s = 0, 1, 2, ...), kQa = ~ .
Удобно устранить эту многозначность, условившись, что должно стремиться к
нулю, по мере того как скорость, а следовательно, и к стремятся к
бесконечности.
Согласно (2.27), при больших значениях к
т)0 стремится, таким образом, к нулю при очень больших скоростях. Если мы
допустим, что г|0 меняется непрерывным образом по мере уменьшения к, то
при к->0 величина Но будет стремиться к ближайшему числу, кратному тс,
лежащему ниже к0а, т. е. к произведению числа тс на число таких
энергетических уровней в потенциальной яме, которым отвечает момент
количества движения, равный нулю. Исключения из этого правила имеют место
только тогда, когда к0а является кратным тс/2; в этом случае % стремится
к к0а. фиг. 5, а иллюстрирует зависимость от к для трех типичных случаев,
когда число энергетических уровней равно нулю, одному и двум.
Переходя к вопросу о зависимости парциального сечения, нулевого порядка
= 4тс sin2 от скорости, мы видим, что
в том случае, когда предельное значение и]0 при малых скоростях равно
src, где s больше двух, сечение должно обращаться, в нуль при тех
значениях к, для которых к]0 = (" - 1)тс, (s-2) тс и т. д. физический
смысл этого результата заключается в том, что при таких значениях к
потенциальная яма оказывается достаточно глубокой для того, чтобы в ней
могли поместиться одна или несколько дополнительных целых длин волн.
Волновая* картина вне ямы остается при этом неизменной, появление в яме-
одной или нескольких новых коротких волн не обнаруживается на бесконечном
расстоянии от ямы.
Если Q0 проходит через нуль при некотором конечном значении к, для
которого сечения первого и более высокого порядка все еще очень малы, то
полное сечение Q будет обладать резким минимумом при этом частном
значении скорости. Такая возможность существует в общем случае рассеяния
полями притяжения, она является ответственной за эффект Рамзауера-
Таунсенда, наблюдаемый при рассеянии электронов некоторыми атомами (см.
гл. X). Типичные кривые зависимости Q0 от екорости приведены на фиг. 6,
а.
48 ГЛ. II. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ПУЧКА ЧАСТИЦ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ
При некоторых определенных условиях могут быть получены удобные
приближенные формулы для вычисления Q0 [4].
а Потенциал притяжения б. Потенциал отталкивания
Фиг. 5. Зависимость фаз v;0, vj1, vj2 от скорости при различных значениях
напряженности поля.
*oV
а-для сферических ям глубины D =* - и радиуса а;
2
ьм
б-для сферических потенциальных барьеров высот D=-~ и радиуса о.
Рассмотрим случай глубокой и узкой потенциальной ямы. Предположим, что
для этой ямы; а) существует уровень с энергией
связи v?%2/2m, б) ха < 1. Поскольку к0а > ~, для того чтобы
§ 3. РАССЕЯНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ямой
49
в яме мог существовать энергетический уровень, должно удовлетворяться
неравенство к0 > х. Отсюда следует, что энергия связи_мала по сравнению с
глубиной ямы.
а. Потенциал притяжения 6. Потенциал отталкивания
Фиг. 6. Зависимость парциальных Q0, Qlt Q2 и полного Q сечений от
скорости при различных значениях напряженности
поля.
о-для сферических ям глубины Д= и радиуса о;
б-для сферических потенциальных барьеров высоты D -
т*
2т
и радиу-
Найдем теперь приближенное значение Q0 при таких скоростях, для которых
ka < 1. С этой целью разложим выражение
sin2 ?|0 = sin2 ?arctg tg к'а^ - ка J
в ряд по степеням (кг + х2)/(&2 - х2), воспользовавшись для этого
соотношением
tg[(*8-"*)1/2я]_ _J_
(к%-х2)1/2 *
4 Н. Мотт и Г. Месси
(2.32s;
50 ГЛ. XL ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ПУЧКА ЧАСТИЦ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ
В результате получим
Q0 = (1 + ха + Члены высшего порядка). (2.33)
Уравнение (2.32) имеет корень х, удовлетворяющий условию "б", если к0а
несколько превышает те/2. Если же, напротив, к0а несколько меньше те/2,
то может быть определена некоторая величина к. < к0, удовлетворяющая
уравнению
tg [(Ag + Xg)1/aa] _ 1 /по,.
(fti + X*)1/" ~Ь' ( '
Сечение Q0 при этом может быть представлено в форме
Qo = uqr* (! - >*" + Члены высшего порядка). (2.35)
В этом случае не существует реального уровня энергии, а имеется лишь
виртуальный1).
При указанных условиях исследование зависимости эффективного сечения от
скорости дает непосредственные сведения о реальной или виртуальной
энергии уровня, ближайшего к нулю. (При ка < 1 можно пренебречь всеми
парциальными сечениями, за исключением сечения Q0.) Необходимо, однако,
напомнить, что нет никакого смысла говорить о том, является ли
энергетический уровень реальным или виртуальным, не воспользовавшись при
этом каким-либо другим типом измерений.
Возможность применения соотношений (2.33) и (2.35) не должна зависеть от
вида функции, характеризующей потенциал поля, при условии, что последнее
сосредоточено в достаточно малой области пространства. Эти соотношения
