Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Примеры переходов такого рода: радиоактивный распад, эффект Оже ¦ [2],
спонтанная диссоциация молекулы, находящейся в возбужденном вращательном
состоянии. Теория возмущений особенно пригодна для решения задач этого
типа, так как если возмущающее поле не является "малым", то понятие
вероятности перехода утрачивает смысл. В этом легче всего убедиться на
примере эффекта Оже при вычислении вероятности того, что один из двух
электронов, находящихся в возбужденных состояниях в одном и том же атоме,
вернется в основное состояние, передав при этом свою энергию второму
электрону, который в результате покинет атом. В этом случае "возмущающей.
*) Этот метод впервые был предложен Дираком [1].
410 ГЛ. XIV. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПЕРЕХОДОВ
энергией" является потенциальная энергия взаимодействия электронов; если
она не "мала", так что соответственно не мала также и вероятность
перехода за время, обратное частоте соответствующих колебаний, то нет
никакого смысла говорить об электронах как о находившихся первоначально в
определенных стационарных состояниях.
К переходам между двумя неквантованными состояниями эти соображения,
однако, не относятся; при исследованпи задач такого рода применимость
метода возмущений зависит от совершенно иных обстоятельств, рассмотренных
нами в гл. VII, § 2.
2. Переходы, обусловленные возмущающим полем, зависящим от времени.
Начальное и конечное состояния могут в этом случае обладать различной
энергией. Как начальное, так и конечное состояния могут быть
квантованными и неквантованными. В качестве примеров можно привести
возбуждение или ионизацию атома в результате его столкновения с а-
частицей, причем а-частица рассматривается как движущийся силовой центр;
поглощение света и фотоэффект в том случае, когда световая волна не
трактуется как квантованное поле. Переходы первого типа могут быть
рассматриваемы как частный случай переходов второго типа. Мы исследуем их
в связи с этим в следующей последовательности.
1. Переходы, обусловленные возмущением, зависящим от времени.
а) конечное состояние квантовано,
б) конечное состояние принадлежит к неприрывному энергетическому спектру.
2. Переходы, вызванные возмущением, периодическим во времени.
3. Переходы, вызванные ' возмущением, не зависящим во времени.
§ 2. Возбуждение атома возмущением, зависящим от времени
Для простоты в качестве невозмущенной системы рассмотрим электрон,
движущийся в поле бесконечно тяжелого ядра. Пусть г - координата
электрона, Н - оператор Гамильтона для не возмущенного атома, а ф5(г) и
Ws - волновые функции (не зависящие от t) и значения энергии стационарных
состояний, удовлетворяющие уравнению
(Я-^,)ф, = 0. (14.1)
Предположим, что энергия возмущения такой системы имеет вид V (г, t) и
что первоначально (t = t0) атом находился в со-
S 2. ВОЗБУЖДЕНИЕ АТОМА ВОЗМУЩЕНИЕМ, ЗАВИСЯЩИМ ОТ ВРЕМЕНИ 4Ц
стоянии s = 0. При этом исходная волновая функция имеет вид
ф0(г)ехр( -. (14.2)
Волновую функцию, соответствующую любому последующему моменту времени,
обозначим через ЧГ (г, г); эта функция может быть найдена с помощью
начального условия (1*5.2) и волнового уравнения
(14-3)
Разложим W в ряд
ЧГ(г, 0 = 2KW'!)s(r)exp(-^p-) (14.4)
S
и примем, что | as (t) |2 определяет вероятность нахождения атома в
состоянии s в момент времени t (это справедливо только для квантованных
состояний; случай неквантованных состояний исследуется в п. 1). Мы
должны, таким образом, вычислить коэффициенты as[t). Подставляя (14.4) в
левую часть уравнения (14.3), получаем
S
Это выражение должно равняться F4". Умножая обе части равенства на любую
из функций ф* (г) ехр( + 2таТГ8*/й) и интегрируя по всем значениям г,
получим
-5-в, (0 =-^ ехр (-^-) $Ф?(г)У(г, t)W(r,t)dv. (14.5)
В начальный момент времени t = t0 все коэффициенты as равны нулю, за
исключением коэффициента а0, равного единице; проинтегрировав выражение
(14.5), мы получим поэтому (при условии sФ 0)
а*{1)=~2?-\ {exp(-^i^)J^(r)P(r(0V(r,0*}*- (14-6)
и
Это уравнение является точным. Оно не может быть использовано
непосредственно для вычисления as, так как правая его часть содержит
неизвестную функцию Чг. Если, однако, можно предположить, что при наличии
возмущения функция Чг (г, I) лишь слегка отличается от своего
первоначального вида, то
412 'ГЛ. XIV. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПЕРЕХОДОВ
приближенно ее можно заменить в уравнении (14.6) функцией
, / \ / 2%iW0t \
.'Vo (г) ехр ^ j .
Это даст
ast= ) Fs0 (z) exP [ -J------------ J*, (14.7>
* fo
где
Fso(")= ^?(r)F(r, ")Фо(0*. (14.8>
Такое приближение допустимо лишь в том случае, когда
возмущающая энергия "мала". Смысл этого определения зависит от характера
рассматриваемого возмущения. Мы исследуем прежде всего случай возмущения,
обусловленного тяжелой заряженной частицей .с зарядом Е, проходящей через
атом,, причем будем трактовать эту частицу, как движущийся силовой центр.
Есси ядро атома находится в начале координат, а положение возмущающей
