Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
значениях га. Амплитуда рассеянной волны в этом случае равна
О"
/ (в.) = т 2 (2п + 4) (cos 0). (2.28)
п-0
Выполнив суммирование, мы получим хорошо известную формулу Борна (см. гл.
VII, § 2).
§ 3. Рассеяние потенциальной ямой
В этом параграфе мы проиллюстрируем теорию на важном примере рассеяния
частицы потенциальной ямой. Потенциал частицы в рассеивающем поле мы
определим следующим образом:
V (/•)=-Z> (/•<"),
V (г) = 0 (г > а),
где D-некоторая положительная постоянная. Этот простой случай весьма
сходен с общим случаем рассеяния полем притяжения в том смысле, что при
больших значениях г потенциал убывает здесь также быстрее, нежели г-2. Мы
можем поэтому исследовать этот случай в качестве примера для иллюстрации
изложенной выше теории.
Пренебрегая членами второго порядка относительно Gn ~ const • sin Qtr - ~
пъ -f ,
где
Ап
ч"=-тг •
Отсюда окончательно
СО
¦Цп= § F(/-)[/n+i(A/-)]2/-dr.
44 ГЛ. II. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ПУЧКА ЧАСТИЦ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ
1. Предельное значение сечения при малых скоростях. Предположим
сперва, что длина волны к значительно превышает а, так что всеми фазами
¦%, за исключением первой из них rj0r можно пренебречь. (Отметим, что для
частицы, момент количества движения которой равен одному кванту,
расстояние наибольшего сближения равно Х/2тг, если эта частица не
проникает в потенциальную яму.) Для определения % следует найти
асимптотическую форму решения уравнения
обращающуюся в нуль в начале координат (так как функция r_1G должна быть
конечной). Это решение имеет вид
Постоянные А и ""]0 должны быть выбрйны таким образом, чтобы
На фиг. 3 волновая функция G показана сплошной линией; пунктирная кривая
характеризует ход функции
Фаза rj0 определяется расстоянием АВ или А'В', умноженным на к. Из фиг. 3
следует, что в случае поля притяжения г1о положительно; однако, как будет
показано ниже, в случае поля сил отталкивания т)0 отрицательно.
По мере уменьшения скорости частиц до нуля, ¦"]" в общем случае также
стремится к нулю, как это следует из формулы (2.29). Интенсивность
рассеяния, равная sin2 Tj0/ft3, стремится в этом случае к конечному
пределу
гд&
^sinftV (г<а),
sin (кг + ¦")") (г > а),
8кгтЕ
~~ h*
, k'*^k* + kl =
8гс bnD h? '
Gn~ оставались непрерывными при rf=a, т. e. так, чтобы удовлетворялись
уравнения !
A sin к'а = sin (ка + т)0), Ак' cos к'а - к cos (ка -f %).
Эти уравнения дают
ptg к'аЛ-ка. (2.29)
G = sin кг.
(2.30)
§ 3. РАССЕЯНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМОЙ
45
Существуют, однако, особые случаи. Если к0а = tg k<fl, то выражение
(2.30) обращается в нуль; с другой стороны, если к0а
является нечетным кратным ~ я, фаза г|0 уже не стремится к нулю
Фиг. 3. а-поле притяжения; б-поле отталкивания.
Фиг. 4. Предельное значение сечения при малых скоростях как функция
напряженности поля.
А-для сферических ям глубины D и радиуса а; В-для сферических
потенциальных барьеров высоты D и" радиус а а,
при к->Q, и сечение стремится к бесконечности. Исследуя предельное
значение эффективного сечения для рассеяния потенциальной ямой при малых
скоростях как функций) к0, т. е. как функцию квадратного корня из
численного значения глубины ямы, мы получаем кривую, изображенную на фиг.
4.
46 ГЛ. II. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ПУЧКА ЧАСТИЦ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ
Такой- характер изменения предельного значения сечения при малых
скоростях может быть сопоставлен с распределением внутри ямы возможных
энергетических уровней с моментом количества движения, равным нулю. Для
того чтобы мог существовать некоторый энергетический уровень с энергией -
Elt должны иметь место уравнения
A sin If а = е~ш,
Ак" cos к?а = - хе_хо,
где
^ = 8^тД1 ^
Отсюда следует
tg к" а _ 1
к"а ~ Т •
Корни х этого уравнения определяют возможные энергетические-уровни. Таким
образом, условие существования энергетического уровня Ех - 0 заключается
в том, чтобы к0а было нечетным 1
кратным -g-re, т. е. совпадает с условием существования предела
для эффективного сечения при неограниченно малых скоростях _
Последовательные разрывы непрерывности в бесконечности на фиг. 4 (кривая
.4) соответствуют возрастающему числу возможных энергетических уровней,
появляющихся в дополнение к уровню с нулевой энергией. Таким образом, при
кф - я/2 имеется только один энергетический уровень Ex'-0, тогда как при
к0а = Згс/2 имеются уже два энергетических уровня, верхним из которых
есть уровень Ех = 0, и т. д.
Аналогичное квазипериодическое изменение эффективного сечения в
предельном случае малых скоростей имеет место также и для полей
притяжения. Эффективное сечение атома для очень медленных электронов
может оказаться поэтому как много меньше, так и много больше размеров той
области, в которой V (г) сравнимо с энергией электрона. Соответствующие
примеры будут рассмотрены нами в гл. X, § 3 и 4. Другой практически
важный случай - рассеяние нейтронов протонами - будет иеследован подробно
в гл. XIII, § 1.
2. Зависимость т)0 и парциального сечения пулевого порядка от
