Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
определяется выражением вида
¦^манс.
Е" = 1V2 \ (Еп - Е0) 10п (К) dK. (11.64)
Л Ко
§ 4. ВЫЧИСЛ. ТОРМОЗНОЙ СПОСОБЫ. ДЛЯ БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОН. 299
Воспольэовавшись теоремой сложения (11.57), находим
^макс.
= \ ?• (11.65)
Ко
При определении ЛГмакс. существенно отметить, что значения Jon (К),
даваемые приближением Борна, становятся неверными, если изменение
импульса очень велико. Мы не можем поэтому подставить в формулу (11.64)
Кмакс. в форме (11.13), но должны воспользоваться условием сохранения
импульса при столкновении между падающим и атомным электронами. Так как
массы этих электронов одинаковы, то максимальное значение импульса,
который может быть получен атомным электроном, равно половине полного
значения импульса. Положим поэтому
¦^макс. ^ к.
Выполнив интегрирование, имеем
Е" = Щ^1{\пк-\пК,). (11.66)
Сложив выражения (11.66) и (11.63), получаем выражение полной энергии,
теряемой электроном на одном сантиметре пути:
АТ 4 v.Ne* Г. mu2 m2e4 , ,2 4 1 Л i и2 -1 ) ... й7.
п
Суммирование может быть выполнено здесь численно с помощью обычных формул
для матричных элементов х0п. Окончательный результат:
dT i mi)2 j . 1 лр. .. . "л.
Ж = (с= 1,105). (11.68)
3. Сложные атомы. Воспользовавшись водородоподобными функциями и учитывая
наличие запрещенных переходов,- можно обобщить формулу (11.68) на случай
сложных атомов. Подобное обобщение было дано Бете [10]; полученные им
результаты по ряду причин не являются, однако, достаточно точными.
Тормозную способность атомов, обладающих Z электронами, лучше представить
формулой вида
АТ /тв2\ ...
~~ Ах \~Г~) ' (1L69>
где I - среднее значение энергии возбуждения; величину / лучше всего
определить опытным путем, хотя Блох [36] и разработал приближенный метод
ее вычисления с помощью статистической теории строения атома по Томасу -
Ферми.
4. Связь с классической формулой Бора. Метод параметров столкновений.
Классическая теория тормозной способности
300 ГЛ. XI. НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАМИ
вещества была разработана Бором [37] в 1913 г. Результат, даваемый этой
теорией, отличается от формулы (11.68) в том отношении, что функция,
стоящая под знаком логарифма, умножена на величину порядка ho/e2. Пределы
применимости различных приближений были исследованы Блохом [38] и
Вильямсом [39]. Мы будем следовать методу Вильямса, поскольку он дает
возможность оценить относительную роль исследуемых процессов.
Рассмотрим быстрый электрон, проходящий через вещество, содержащее N
атомов в 1 см3, каждый из которых, в свою очередь, содержит Z электронов.
Если бы эти электроны были свободными, то число столкновений на одном
сантиметре пути, при которых падающий электрон отклоняется на угол,
лежащий в интервале между б и б + с$, определялось бы формулой кулонова
рассеяния
Nzn*)db-Q^)% ,
при условии, что 0 не слишком велико. Передача энергии при таком
отклонении равна примерно то2б2, так что потеря энергии на одном
сантиметре пути, обусловленная столкновениями, при которых б > бмин_,
составляет
°макс.
dT 2 -rNZe* Г 2 ^NZe*
dx mi)8 J 9 mi)2
In . (11.70).
обмину
Поскольку нас интересует лишь определение порядка величины функции,
стоящей под знаком логарифма, бМакс. можно положить равным единице. С
другой стороны, значение бМин.. в формуле (11.70) может быть определено
из анализа сил связи.
Согласно классическим представлениям, наличие сил связи будет налагать
ограничения на процесс передачи энергии только в том случае, когда время
столкновения сравнимо или же превышает период обращения электрона при его
движении по орбите. Время столкновения, грубо говоря, равно p/о, где р-
параметр столкновения, измеренный относительно ядра атома как центра.
Время обращения электрона по орбите - величина порядка A/jE, где Е -
энергия связи. Классическое условие, согласно которому можно пренебречь
силами связи, заключается поэтому в том, что параметр столкновения р
должен быть меньше р, где
Р~ТГ- (11.71)
Если р > d, где d - величина порядка радиуса орбиты атомных, электронов,
то это классическое условие остается справедливым также и в квантовой
теории. Действительно, при таких столкно-
§ 4. ВЫЧИСЛ. ТОРМОЗНОЙ СПОСОБН. ДЛЯ БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОН. 301
вениях падающий электрон лишь слегка отклоняется от своего
первоначального направления, и его возмущающее влияние на атом может быть
описано классической теорией.
Поскольку h/E - величина порядка d/u, где и - орбитальная скорость
атомных электронов, условие р > d удовлетворяется, если vz/u2 > 1. Если
это имеет место, остается только найти соотношение между максимальным
значением эффективного параметра столкновения р и величиной бМИн- Это
может быть осуществлено с помощью метода, описанного нами в гл. VII, § 5,
и примененного в гл. IX, § 6, к анализу вопроса о многократном рассеянии.
Подставляя это значение бМин. в выражение (11.70) и воспользовавшись
соотношением (11.71), находим
где gx и go - величины порядка единицы.
Соотношение (11.72) эквивалентно формуле (11.69), тогда как соотношение
