Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
cos (kl/2) = 0, т. е. когда
4 = (2я-1)у, п= 1,2,3,.... (4.9.17)
Используя выражение для k и полагая v = ю/2я, получаем следующие
резонансные частоты:
v"iyy-''*=1'2'3...................... <4-9-18" 1
Экспериментальное измерение этих резонансных частот позволяет определить
компоненту тензора податливости
§ 4.10. Пьезоэлектрические волны Рэлея
Рассмотрим ту же задачу о поверхностных волнах, что и в § 2.14, но с
подложкой из анизотропного пьезоэлектрического кристалла, например из
ниобата лития LiNb03. В общем случае свободная поверхность кристалла дг2
= 0 ориентирована под любым углом по отношению к кристаллографическим
осям кристалла, поэтому вдоль поверхности будут распространяться так
называемые обобщенные волны Рэлея совместно со связанными с ними
электрическими эффектами. Итак, имеем уравнения (см. табл. 4.6.1)
При х2 > 0
CijklUfi' ij -(- С^цЧ*, kj == P^i> (4.10.1)
(r)i/4P, if ^Ikl^k, I! 0. (4.10.2)
При x2 = 0 (механически свободная поверхность)
(Cfmuk, i + ейг/ф1 fe) fij = 0, (4.10.3)
n • [D] = 0, (4.10.4)
Ф = фо - заданный потенциал (например, Земли),
Ы = 0 - непрерывность потенциала (используется (4.10.5) совместно с
(4.10.5)).
При х2<0
?2Ф = 0 (4.10.6)
с условиями
<р -> 0 при х2->±оо,
[и |->0 при х2->-+°о.
(4.10.7)
В систему входят четыре взаимосвязанные амплитуды, так что общее решение
задачи Рэлея {щ, I = 1,2, 3, 4} = {сц, г = = 1, 2, 3; "4 = ф} для волн,
распространяющихся вдоль оси Х\
§ 4.10. Пьезоэлектрические волны Рэлея
249
с частотой а" и волновым числом k = k\ и экспоненциально затухающих в
подложке, имеет вид
ui = u°i ехР (~k%x2) exp [i (wt - Re [x] > 0.
Общее решение для области Xi > 0, которое должно удовлетворять граничным
условиям при Хч = 0, в форме четырехкомпонентного вектора записывается в
виде
где Аа - коэффициенты, определяемые из граничных условий. Из
механического граничного условия (4.10.3) находим
Если подложка не пьезоэлектрическая, А4 = 0, то скорость распространения
поверхностных волн определяется из условия совместности системы линейных
однородных уравнений (4.10.9) с eijk = 0. Если подложка - пьезоэлектрик,
то из соотношений
(4.10.9) коэффициенты Л,-, i= 1,2,3, определяются как функции А4, а
скорость распространения волн находится из граничных условий для
электрического поля (4.10.4) и (4.10.5).
Здесь можно для каждой среды (т. е. для подложки и прилегающей к ней
среды) ввести физически важную величину - поверхностную проницаемость -
по формуле
Задача сводится к определению e(S)(co,6) для каждой среды. Граничное
условие при Хг - 0 теперь элементарно выражается в виде
и это уравнение служит "дисперсионным уравнением", определяющим скорость
распространения пьезоэлектрических волн Рэлея. Показано, что для
пьезоэлектрической подложки
нг = Е Aaifit <а)ехр (~k%ax2) exp [t (otf - kxx)}, (4.10.8)
3
(4.10.9)
где
(4.10.11)
e<^+0((r), 6) + е<^_0(ю, *) = 0, (4.10.12)
для вакуума (в нашей системе единиц)
(4.10.15)
(4.10.14)
250
Гл. 4. Упругие диэлектрики и пьезоэлектричество
Отметим, что, согласно (4.10.9), величины А;, г= 1,2,3, пропорциональны
Л4 и, следовательно, е(/> зависит только от фазовой скорости v = &/k.
Типичные зависимости вещественной и мнимой частей от фазовой скорости см.
на рис. 4.10.1.
В области Хч > 0 все три компоненты упругого перемещения и электрический
потенциал в общем случае взаимосвязаны.
Соответствующие поверхностные волны Рэлея переносят все три компоненты
упругого перемещения и сопровождаются электрическим полем,
ориентированным в сагиттальной плоскости (хь х2), так как ?3 = = -дф/(Зх3
= 0. Однако при определенной ориентации сагиттальной плоскости
относительно осей симметрии кристалла четырехмерная система для амплитуд
может расщепляться на две системы только с двумя или тремя компонентами
перемещения и потенциала. Это будет продемонстрировано в § 4.11 на
примере поверхностных волн Блёстейна - Гуляева.
В общем случае задача о распространении поверхностных волн в теории
пьезоэлектричества превратилась в чисто техническую задачу, требующую
довольно длительных математических выкладок. По этому вопросу можно особо
отметить работы [Dieulesaint, Royer, 1980; 1984; Coquin, Tiersten, 1967]
для линейных волн и [Maugin, 1985; Planat, 1984], для нелинейных
поверхностных волн. Технические приложения теории поверхностных волн в
пьезоэлектрических подложках очень многочисленны; к ним относятся
преобразователи, линии задержки, волновые фильтры для бегущих и стоячих
волн и в нелинейном режиме акустические преобразователи. Описание и
анализ некоторых из этих устройств читатель может найти в вышеуказанных
работах.
§ 4.11. Поверхностные волны Блёстейна- Гуляева
В 1968-1979 гг. Блёстейн в США [Bleustein, 1968] и Гуляев в СССР [Гуляев,
1969] обнаружили одновременно случай
Рис. 4.10.1. Изменение вещественной(------)
и мнимой (----------) частей поверхностной
проницаемости в зависимости от фазовой скорости (V0 - скорость для
разомкнутой поверхности; Voo--скорость для коротко-замкнутой поверхности)
