Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
свободная мода, скажем р. Тогда условие (4.8.4) принимает вид
(k?,)(TJm/2)=cos {Ш/2)• (4-8-6)
Если а" много меньше резонансной частоты, то это условие приводится к
виду cos(/i?P/2) = 0, из которого следует, что
hk$ 2m - 1 ioo i а о
- m= 1,2,3........... (4.8.7)
Пусть Яр - акустическая длина волны, связанная с модой Р; Яр =2яДр =
2я(ир/<в). Тогда условие (4.8.7) можно записать в хорошо известной форме:
(2m-1) (Яр/2) = Л. (4.8.8)
Это означает, что на толщине пластины должно укладываться нечетное число
акустических полуволн.
§ 4.9. Пьезоэлектрическое возбуждение продольных колебаний 245
Резонансы, существование которых следует из уравнения
(4.8.3), приводят к тому, что пьезоэлектрический резонатор может иметь в
малом объеме значительно большую емкость, чем жесткий конденсатор. Такие
пьезоэлектрические конденсаторы используются в телевизионной технике.
Пусть v = o"/2n. На
Рис. 4.8.1. Эффективная проницаемость пьезоэлектрического конденсатора в
зависимости от v = <в/2л в МГц [Nelson, 1979].
рис. 4.8.1 эти резонансы показаны на кривой e(v). Рассмотренная задача о
пьезоэлектрических колебаниях пластины привлекла внимание многих
исследователей (см., в частности, работы [Mason, 1950; Tiersten, 1963;
1969]).
§ 4.9. Пьезоэлектрическое возбуждение продольных колебаний брусков и
В качестве второго примера квазиэлектростатических колебаний
пьезоэлектрической структуры рассмотрим возбуждение колебаний в бруске
толщиной h, шириной w и длиной I 3> w > /г; две наиболее широкие
поверхности бруска, верхняя и нижняя, покрыты электродами, соединенными с
источником напряжения V (рис. 4.9.1). Ориентация кристалла считается
произвольной, а упругое перемещение - в общем случае трехмерным, только с
тем разумным допущением, что деформации зависят только от продольной
координаты х\. Все боковые поверхности бруска, как широкие, так и узкие,
считаются
о Этот пример принадлежит Нельсону [Nelson, Lecture Notes, Princeten,
1976; а также 1979, sect. 11.9].
246 Гл. 4. Упругие диэлектрики и пьезоэлектричество
механически свободными, поэтому мы имеем следующие граничные условия:
О = Tj2 = Cl2kl^k, I ^mi2^m ПрИ Х2 = i
е (4.9.1)
О - xi3 = Ci3ktUk} I - emi3Em при x3 = ±hj2.
Так как w и h очень малы по сравнению с /, то мы можем считать, что тгг и
т,з обращаются в нуль не только на боковых
поверхностях бруска в соответствии с условиями (4.9.1), но и в его
сечении практически равны нулю, поэтому для нас имеет значение только
единственная компонента тензора напряжений:
Дц Сцkl^kt I f'm W^m.' (4.9.2)
Пусть S(r) п{. - тензор упругой податливости, соответствующий cfjkr
SmnijCilkl - lh {Ьтфп1 + 6m/6"fe), (4.9.3)
или в системе обозначений Фойгта
SfpCpv = 6av, a, Р, у = 1, 2, ..., 6. (4.9.4)
Теперь мы в соответствии с классиками имеем возможность ввести тензор
пьезоэлектрических деформаций с компонентами йшп или dka [Mason, 1950]:
d-kmn Stnnifikiii dka ^ap^fep. (4.9.5)
Из (4.9.2) следует равенство
U(k, l) - SklU^n + d-mklEm.. (4.9.6)
справедливое для любых k и l. Поэтому величина щ, k = 1,2, 3, не зависит
от х2 и х3. Теперь уравнение (4.9.2) можно переписать в виде
Hi ==C\mUi i -f- (СиklUfci) (4.9.7)
k. I
§ 4.9. Пьезоэлектрическое возбуждение продольных колебаний 247
где штрих при знаке 2 указывает, что суммирование по k и /, равным
единице, не производится. С учетом (4.9.6) имеем
тп = Cnu^i, 1 + Cnki (sf/цТц + dmktEm) -
- Сип (SnnTn -f dmnEm) - emnEm) (4.9.8)
это выражение в обозначениях Фойгта можно записать в виде
Тц = (Sn)_1 ("I,! - (4-9-9)
Полученное уравнение показывает, что именно величины (Sfj)-1 и
должны йспользоваться в данной задаче в качестве
коэффициента упругости и пьезоэлектрического коэффициента, а не Cf, и emV
как это могло показаться вначале.
Запишем теперь граничные условия для электрического поля. Скачок
тангенциальной компоненты электрического поля равен нулю при х3 = +h/2.
Следовательно,
Ei = E2 = 0 при х3= + h/2. (4.9.10)
И снова распространим равенство Е\ = Е2 = 0 на все поперечное сечение
бруска. Единственная ненулевая компонента поля Е есть Е3, которая
создается напряжением V, меняющимся с частотой со:
E3 = (V/h) cos &t. (4.9.11)
Согласно предположению, величина Е3 не зависит от х\ в бруске, поэтому
электрическое поле не войдет в уравнение движения, которое в соответствии
с соотношением (4.9.9) примет вид
рЙ1 = (5п)'Чп- (4.Э.12)
Интегрируя это уравнение, получим решение
и\{х\, 0 = (A sin kx{ + В cos kxi) cos mt, k = a> (pSn)I/2, (4.9.13)
где А и В нужно определить при помощи граничных условий. Если к обоим
концам бруска не приложены никакие силы, т. е. = 0 при Xi = +1/2, то
получим условие
(sf,)~4, >(*! = +//2)-(sfO-'^Es^O. (4.9.14)
Это равенство с учетом (4.9.11) позволяет найти А и В:
d3,V в==0; (4.9.15)
hk cos (kl/2) '
в результате решение для продольного перемещения имеет вид
d3\ V sin (kxi) hk cos (?//2)
(4.9.16)
248 Гл. 4. Упругие диэлектрики и пьезоэлектричество
Это решение указывает на наличие резонансов, когда 1
