Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
(4.7.2)
(4.7.3)
(4.7.4)
Пусть Ae - площадь электродов и Q - полный электрический заряд,
находящийся на них. Кроме условия обращения
Рис. 4,7.1. Пьезоэлектрически возбужденные колебания пластины.
в нуль электрических полей вне пластины мы имеем граничные условия
(4.3.20)5 на поверхностях z = ±/z/2:
nt (eikiuk, / - 8</ф, /) - - QMe- (4.7.5)
Вынужденные колебания возникают из-за наличия граничных условий (4.7.4).
Рассматриваемая задача одномерная, все переменные изменяются только
поперек слоя толщины h, поэтому можно положить
V = е,-нг- = п --г-,
(4.7.6)
где п - единичная внешняя нормаль к верхней поверхности пластины.
Исключив из уравнений (4.7.1) и (4.7.2) d2q>/dz2, получим
д2и.
д2и.
РИ-i - CijklUjni > ^^2 Тik (н) ^z2
(4.7.7)
где Flk - акустический тензор Кристоффеля (4.5.3), только вектор s
заменен на п. Пусть Ь" и = а = 1, 2, 3, - соб-
16 Ж. Можев
242 Гл. 4. Упругие диэлектрики и пьезоэлектричество
ственные векторы и собственные значения (равные фазовой
скорости) в задаче о свободных колебаниях тела, описываемых
уравнением (4.7.7), т. е.
Vvlbl = Ttk(n)bl, (4.7.8)
a va - решения уравнения
detlf(.,(n)-P^] = 0. (4.7.9)
Будем искать решения задачи о вынужденных колебаниях
(4.7.1), (4.7.2) при предположении, что это решение раскладывается по
собственным векторам (4.7.8) следующим образом:
з
и = 2 Ь" (Ла cos + Ва sin kaz)cos(r)t. (4.7.10)
а = 1
Соответствующий этому состоянию потенциал электрического поля ф
определяется из уравнения (4.7.2):
ф = е-г!к}П^1 иk + (CiZ + С2) cos at; (4.7.11)
Jlpbpqnq
здесь первое слагаемое имеет такую же структуру, как и- вы-ражение
(4.4.26), a Ci и Сг во втором слагаемом - постоянные интегрирования,
которые находятся из граничных условий
(4.7.4). Из последних с учетом (4.7.10) получаем
С, = т-
v 2 eikinini
? bkBa sin (hka/2),
h h npepqnq a ^ ^
Co =
emnink
? biAa cos (hka/2).
tlp&pqtlq a
Подставив выражения (4.7.10) и (4.7.11) в граничное условие для
механических напряжений (4.7.3), найдем следующие два условия:
? Aakabakfife sin {hka/2) = 0, (4.7.13)
a
X BVbi [r" cos (Jf.) + (rf, - Г,,) (-^) sin Щ _
= -eujtiitijV /h, (4.7.14)
где Tfk- акустический тензор Кристоффеля без учета пьезоэлектрического
упрочнения. Уравнение (4.7.13) показывает, что генерируются только четные
компоненты вектора и, поэтому в пробном решении (4.7.10) нечетные
компоненты (т. е. нечетные тригонометрические функции) можно отбросить.
Из другого условия (4.7.14) можно найти Ва, a =1,2,3. Для этого скалярно
умножим уравнение (4.7.14), преобразованное с уче-
§ 4.8. Частотная зависимость тензора проницаемости 243
том (4.7.8), на вектор Ь"; в результате получим
Вр - Ср Z DyBv = -Се, (4.7.15)
Y = 1
где
ё
"V
piipA^ cos (hk(r)/2)
nv_ 2e^ sin (A*V2) ' "
л (4-7-16)
Неизвестная B" определяется из уравнения (4.7.15) следующим образом.
Умножив (4.7.15) на DP и проведя суммирование по р, найдем
з • ? дРсР
?о,С|, = -'| JSp.c.- (4.7.17)
а
Подставив это выражение в (4.7.15), получим выражение для ВР в явном
виде:
R г 3 . . ... П-1
в'- *'v
¦ <4-7Л8>
а=1 -*
cos (hk^/2)
где коэффициенты взаимодействия Ка определены формулой
= Ъ '"г 212-• (4.7.19)
КпРеР9п9)Ы
Таким образом, если известны собственные решения задачи о свободных
колебаниях пластины (4.7.8), (4.7.9), а также значения Ка, решение (u,
qp) задачи о вынужденных колебаниях представляется выражениями (4.7.10) и
(4.7.11), в которых Л" = 0, Сг - 0, Ci определяется формулой (4.7.12), а
ВР - формулой (4.7.18). Отметим, что в решении не учитывалась какая-либо
определенная поляризация упругих колебаний и. Это означает, что
приведенное решение справедливо для пьезоэлектрического кристалла с любой
ориентацией по отношению к п и с любым кристаллическим сечением вдоль
верхней и нижней поверхностей кристалла. Однако некоторые колебания,
например сдвиговые, могут возбуждаться только в определенных сечениях
(см. § 4.13).
§ 4.8. Частотная зависимость тензора проницаемости
Поведение резонатора, рассмотренного в § 4.7, можно охарактеризовать
через его емкость. Емкость электромеханического устройства, изображенного
на рис. 4.7.1, определяется
16*
244 Гл. 4. Упругие диэлектрики и пьезоэлектричество
следующим образом:
Аег ___ Площадь X Эффективная диэлектрическая постоянная
h Толщина
(4.8.1)
Так как
Q = CV cos mt (4.8.2)
и Q/Ae выражается через решение (и, <р), полученное в § 4.7
при помощи граничного условия (4.7.5), то легко показать, что
ё определяется по формуле
5 ________________пргрдпд____________________ /. 8 о\
(')
а
Очевидно, из этой формулы следует существование резонансов,
соответствующих обращению в нуль знаменателя, т. е.
1-1 (Г)2 tgiX2)=0. (4.8.4)
а
Отметим, что при а", стремящемся к бесконечности, ё стремится
К 8(я) = ilptpqtlq, ТЭК КЭК ВвЛИЧИНу (ka)~l ~ (В-1 МОЖНО ОТбрО-
сить; при малых частотах
ё (о) 0) = е (п)Д1 - ? (Ка)2) ¦ (4.8.5)
Рассмотрим частный случай, когда симметрия пьезоэлектрического кристалла
и его ориентация относительно п таковы, что возбуждается только одна
