Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
В уравнениях для следующего приближения решения с верхним
индексом (0) входят как источниковые члены. Таким обра-
зом, система уравнений для электромагнитного поля в нулевом
Таблица 4.6.1. Сопоставление линейной теории пьезоэлектричества и теории
потенциала
Электростатика иедеформируемых изотропных тел
Линейная теория пьезоэлектричества С?/к*"0' еЫ/=0' ег/=е6г/ Теория
потенциала
Уравнения в объеме тела (а) cfjkiuk. ij + ekisiР, us ~ Р"г (Ь)*u<t.it-
*jkiuk, г/ = ° еу2ф = 0
Уравнения на поверхности тела (CHkluk, 1 + ekii^'k) nJ ~ Ti <-
dHeikluk,l~eU(f>l] ni=S>f [•?]-.
Уравнения вне тела V2q> = 0 Ф -> 0 при г -> оо У2Ф = 0 Ф -> 0 при г -
> оо
приближении по tj, входящая в систему (4.6.8), формально совпадает с
системой уравнений электростатики в диэлектриках:
V . D(0) = 0, V X Е(0) = 0, (4.6.10)
хотя D<°> и Е(0) могут зависеть от времени, но только в
акусти-
ческом диапазоне частот. В соответствии с уравнением (4.6.10)2 можно
ввести электрический скалярный потенциал ср(0) так, что
Е(0) = - Уф(0). (4.6.11)
§ 4.6. Приближение квазиэлектростатики
239
Далее в этой главе мы будем работать только в приближении
квазиэлектростатики, которое принималось при выводе уравнений (4.6.8).
Опуская индекс (0), учитывая (4.6.11) и добавляя граничные условия,
получаем систему уравнений линейной теории пьезоэлектричества в
приближении квазиэлектростатики, представленную в табл. 4.6.1. Для
сравнения в этой же таблице параллельно приведены соответствующие
уравнения теории потенциала. Очевидно, что теория потенциала [Kellog,
1929] может помочь в решении аналогичных, но более сложных задач линейной
теории пьезоэлектричества.
В. Уравнение энергии в квазиэлектростатике пьезоэлектриков
Поток электромагнитной энергии, или вектор Пойнтинга S = сЕХ Н, является
весьма примечательной величиной. Каково его выражение в
квазиэлектростатике? Чтобы найти такое выражение, попробуем вычислить
следующую интегральную величину:
(c)em= Js-n da= ^ с (Е X Н) • n da, (4.6.12)
& &
которая представляет собой интеграл по материальной поверхности
замыкающей объем В, с элементарным элементом площади da = nda. Имеем
также
@em= JcV-(EXH)da.
в
Используя уравнение Е = - и уравнение Максвелла
(4.3.19) 4, получим
дВ " , Г " / , f dD
(c)ет=-$-tr-v<pdo==- $у-(фж)^=- $п<р
dt
da.
в
так что
где величина
(c)"-Js-.da, (4.6.13)
&
может рассматриваться локально как вектор Пойнтинга в электростатике. Мы
оставляем читателю доказательство следующего интегрального уравнения при
отсутствии процессов теплопроводности:
д г г 1 •2 , "р\ . г - • - . г /-
240
Гл. 4. Упругие диэлектрики и пьезоэлектричество
где определена соотношением (4.3.27), а В - материальный объем,
ограниченный дВ. Используя чисто механическое граничное условие (4.3.20)
1, найдем, что поток энергии через единичную площадку в теории
пьезоэлектричества имеет вид
-> , дп
^"т-и + ср-^-. (4.6.16)
С. Интегральная ортогональность свободных пьезоэлектрических колебаний
твердого тела
Будем говорить, что два векторных поля V(1) и V(2) интегрально
ортогональны для всего тела В тогда и только тогда, когда VW и V<2> не
равны нулю и
JpV<1)-V""do = 0. (4.6.17)
в
Рассмотрим задачу о свободных колебаниях (f = 0, Т = 0, ibf = 0)
линейного пьезоэлектрического тела. Пусть (um, q>m) и (ип, фге) - два
решения, меняющиеся во времени по законам exp(iaW) и ехр(го)"/), причем
(вт^=(вп. При помощи уравнений линейной теории пьезоэлектричества в
объеме в приближении квазиэлектростатики и соответствующих однородных
граничных условий можно показать (это хорошее упражнение), что ит и ип
интегрально ортогональны, т. е.
^ pum • ип dv = 0, сот =/=<"". (4.6.18)
в
§ 4.7. Пьезоэлектрически возбужденные колебания в объеме пластины 1 >
В качестве первого примера квазиэлектростатических колебаний
пьезоэлектрической структуры рассмотрим колебания или моды в объеме
пластины (рис. 4.7.1). Пластина конечной толщины занимает область -/г/2 ^
г ^ /г/2 физического пространства. Ее свободные ненапряженные поверхности
z = ±ft/2 контактируют с плоскими электродами, соединенными с источником
напряжения V с частотой о. Электроды, естественно, изготовлены из
проводящего материала, но их толщина считается очень малой по сравнению с
ft, поэтому в задаче о колебаниях учитываются только свойства
пьезоэлектрического материала пластины, но не электродов. Частотный
диапазон
1) Элегантное решение § 4.7 принадлежит Нельсону [Nelson, 1979; sect.
11.7], который улучшил более раннее решение Тьерстена [Tiersten,
§ 4.7. Пьезоэлектрически возбужденные колебания
241
предполагается таким, что чисто электромагнитные волны практически
отсутствуют и задача может быть сформулирована в рамках
квазиэлектростатики. Уравнения этой задачи приведены в левом столбце
табл. 4.6.1.
Внутри пластины
^ijkiuk, ij "Ь ekij(f>, ft/ ~ Р^г> в|/Ф, if - e/kiuk, и = 0.
На свободных поверхностях г - ±h.J2
(C?!klUk, l ekiiCP, ft) nk ~
Ф = ± (V/2) cos cot.
(4.7.1)
