Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь обратный пьезоэлектрический эффект в динамическом
процессе с частотой со и волновым числом k в акустическом режиме
(ультразвуковой диапазон). Все функции изменяются в соответствии с
волновым множителем exp[/(?r-s - со/)]. Полагая f = 0 и подставляя
выражение
(4.4.26) в определяющее уравнение для тщ найдем (v - w/k)
(pv26ik - Cilklsjsl)uk = 0, (4.5.1)
где
7 r>B , emijsmenklsn 73 7 /л К 0\
Cijkl = U/fcz н -- --------= С kill = G(z/)(fcz) (4.0.Д)
Sp&pqSq
- тензорный коэффициент упругости с упрочнением', этот тензор также
является оператором Гука.
В. Коэффициент электромеханического взаимодействия
Решение уравнения (4.5.1) есть решение стандартной задачи об определении
гармонических волновых мод в анизотропном теле с тензорным коэффициентом
упругости Сцы. Если ввести акустический тензор Кристоффеля
ч Eife(s) = CijkiSjSi = rfei (s), (4.5.3)
то можно сказать, что уравнение (4.5.1) для поля перемещения имеет
нетривиальное решение тогда и только тогда, когда
detlfik-pv%kl=0. (4.5.4)
Уравнения (4.5.1) и (4.5.4) выражают типичную задачу об определении
собственных значений. Так как тензор симметричен и положительно
определен, то, как легко видеть, соответствующие собственные значения
вещественны, а собственные векторы ортогональны друг другу. Уравнение
(4.5.4) кубическое относительно v2. Его решения имеют следующую типичную
форму:
где СЕ, е и е -характерные компоненты тензоров С?.и, eijk и е(..
Результат (4.5.5) можно также записать в виде
02 = С2(1_|_Д2), ^2==в2ДеС?)> (4.5.6)
где величина К называется коэффициентом электромеханического
взаимодействия. Этот коэффициент определяет поправку к скорости
распространения акустических волн, появляющуюся
236
Гл. 4. Упругие диэлектрики и пьезоэлектричество
благодаря пьезоэлектрическому эффекту. В общем случае, К зависит от
направления распространения волн по отношению к кристаллографическим осям
(см. уравнения (4.5.4) и (4.5.2)). Этот же коэффициент характеризует и
интенсивность упругих волн, создаваемых в пьезоэлектрическом эффекте. В
частности, чтобы возбудить избирательно только одну моду, надо выбрать
Y z -Y
Угол с осью У, °
Рис. 4.5.1. Изменение электромеханического коэффициента взаимодействия К
в зависимости от направления распространения волн в плоскости YZ для нио-
бата лития; QL - квазипродольные волны; QT - квазипоперечные волны
[Dieulesaint, Royer, 1984].
такое сечение кристалла, что коэффициент электромеханического
взаимодействия для других мод этого сечения был пренебрежимо мал.
Чтобы можно было применить этот принцип, па рис. 4.5.1 в качестве примера
изображена зависимость этого коэффициента в виде функции от определенного
направления распространения волн в хорошем пьезоэлектрическом кристалле
(ниобат лития LiNb03 из ромбоэдрической системы, класс 3гп). Величина К в
типичных пьезоэлектрических кристаллах имеет следующие порядки: кварц (К
= 0.0093; кварц не слишком хороший пьезоэлектрик!), германий (X = 0.32;
следовательно, поправка к квадрату скорости (4.5.6) ~10%), CdS (К = 0.19;
поправка к о2 - 4%) и керамики PZT4 (К = 0.5-0.7). Керамика имеет очень
большой коэффициент электромеханического взаимодействия.
§ 4.6. Приближение квазиэлектростатики
А. Приближение Ч
При выводе уравнения (4.4.26) уже можно было увидеть существенное
различие между электромагнитными и акустиче-
о Здесь мы следуем работе [Nelson D. F., Lax М. - Phys. Rev., 1976, В13,
p. 1731]; см. также [Nelson, 1979, sect. 11.1].
§ 4.6. Приближение квазиэлекростатики 237
сними эффектами. Фактически это можно было заметить еще в самом начале,
рассмотрев основное уравнение (4.3.19), если выполнить простой анализ
размерности. Для этого предполо-
жим, что К - характерная длина электромагнитного возмущения в вакууме и L
- характерный размер рассматриваемого кристалла. Тогда
(4.6.1)
Обычно L= 1 см, а условие (4.6.1) справедливо, если
соЕ 2nL , i а с
Tls -= " < <4-6-2>
следовательно, са/2я 1 ГГц = 109 Гц. Имея в виду это при-
ближение, введем следующие безразмерные координаты в пространстве и
времени:
? = x/L, т = ?оt; (4.6.3)
следовательно,
6 13 д д /л с л\
-т---г---•, --= со-- . (4.6.4)
dxt L dt,t dt дт ' '
Также положим
Щ = u/L, $ = сВ,
= i = 1,2,3},
так что dim [Щ = dim [Е].
Уравнения (4.3.19) в новых безразмерных переменных принимают вид
д*<и. дЕ. " " д*Ч1.
C?lki dij dit " = р(0 1 ~дх*~'
дЕ} t д*ог1
(4.6.5)
V;XE = -ri-g-f (4.6.6)
(Vc X ki = n ? (e'7Щ + em ^-),
vs • & = 0.
Функции E, и ^ формально раскладываются в ряд по степеням г)< 1 в виде
оо
(4.6.7)
П=0
Подставив разложения такого вида всех этих величин в уравнения (4.6.6),
приравняем нулю суммы членов при одинаковых
238 Гл. 4. Упругие диэлектрики и пьезоэлектричество
стёпенях; далее рассмотрим только нулевое приближение; возвращаясь к
исходным переменным, находим
<?V0)
ГЕ "(0) _ е 17(0) _ D L-
^ijkiuk, is fet/ fe. ( p dt2 ' (4.6.8)
+ = VX№ = 0,
а также
V x в(0) = 0, V ¦ B<0) = 0. (4.6.9)
