Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
[п2 (бг/ - SiSj) - е(/] Ej = eijkuu k, (4.4.5)
где коэффициент преломления п и фазовая скорость Оф определяются
соотношениями
Положив
п = с/х)ф, Оф = (й/1г. а - п2 (I - s <8> s) - ?
(4.4.6)
(4.4.7)
232 Гл. 4. Упругие диэлектрики и пьезоэлектричество
и предположив, что тензор а имеет единственный обратный тензор а-1,
выразим из уравнения (4.4.5) генерированное электрическое поле:
Ei -(a l)iieijkUjtk• (4.4.8)
Задача свелась к определению а-11. Для ее решения, следуя общей
методологии, спроектируем решение неоднородного уравнения (4.4.5) на
собственные векторы - решения соответствующего однородного уравнения.
Действительно, однородное уравнение, соответствующее (4.4.5), дает задачу
на собственные значения
(б li - sisl)Ei = -^retlEI, (4.4.9)
которая есть не что иное, как задача электромагнитной оптики для
анизотропного абсолютно твердого кристалла с тензором
проницаемости гц (см. § 1.10). Пусть (1 /па)2, а=1,2,Зи!Л-собственные
значения и собственные векторы, полученные при
решении этой задачи. Уравнение на собственные векторы Жа "-^8
и <f (4.4.9), соответствующие значениям пафп$, накладывает
условие
§а-(еЙ*) = 0, а ф р. (4.4.10)
Это условие означает, что векторы Ж и Ж ортогональны в смысле скалярного
произведения, соответствующего метрике е. Назовем такую ортогональность
08-ортогональностью. Нормируя собственные векторы по норме этого
скалярного произведения, имеем
Жа ¦ (еЖа) = I, а=Г, 2, 3 (фиксировано). (4.4.11)
Условия (4.4.10) и (4.4.11) можно объединить в виде одного условия
ортонормированности:
<Уа.(е1гр) = бар. (4.4.12)
Этому соотношению можно придать и другую полезную форму. Пусть -
электрическая индукция в анизотропном материале, соответствующая вектору
Жа в отсутствие пьезоэлектричества, т. е.
фа = г-Жа, а=1, 2, 3 (фиксировано). (4.4.13)
Тогда уравнение (4.4.12) принимает вид
Жа-3^ = бар. (4.4.14)
§ 4.4. Электрическое поле, создаваемое пьезоэлектрическим эффектом 233
Кроме этого уравнения у нас есть еще и другие полезные соотношения. Так
как векторы образуют базис в смысле Ое,
всякое векторное поле V и любое тензорное поле Т можно разложить по этому
базису. Поэтому мы можем записать о
V=Sc/a, Т= t Caia(r)le. (4.4; 15)
a =1 a, Р = 1 н
Можно легко показать, что
^ 3 ^ ^
Ca = V • <Sa, У = (4.4.16)
а=1
Из последнего соотношения, справедливого для любого ненулевого V, следует
3 -* -*
? 0а(r)"Га = 1, (4.4.17)
a =1
где I - единичный диадик. Точно так же применяя второе соотношение
(4.4.15) к тензору а-1, найдем, что его компоненты равны
Сра= #•("-'• (4.4.18)
Таким образом, задача свелась к определению Сра, Переходя к ее решению,
заметим, что по определению тензора а-1 имеет место тождество
а-1 • [я2(1 - $ (r) s) - в] = I.
-Vfl
Выполнив свертку этого равенства слева на Ф и справа на <5 и учитывая
(4.4.14), получим
# • а-1 • [я2 (I - s (r) s) - е] • |а = 0е • |а = бРа. (4.4.19)
Вставив в это соотношение единичный тензор I с выражением (4.4.17)
непосредственно за а~', найдем
Z Ф*-а1 • Фу(r)§у -[п{ I-s(r)s)-e] -la = 6pa,
Y
ИЛИ
? i? • a-1 -Фу(r)§у-Фа - l] = 6Pa. (4.4.20)
v
Здесь мы использовали равенство
(4.4.21)
п Этот красивый вывод принадлежит Лаксу и Нельсону [Lax, Nelson, 1971];
см. также [Nelson, 1979, sect. 10.7].
234
Гл. 4. Упругие диэлектрики и пьезоэлектричество
которое следует из соотношений (4.4.9) и (4.4.13). Подставив теперь
выражение (4.4.14) в уравнение (4.4.20) и положив у = а, найдем
коэффициенты С$а, следующие из (4.4.20), а они по формуле (4.4.15)г дают
выражение
а-1 = ? [(-Jf)2 - 1 ] ' ^ • (4.4.22)
В классической электромагнитной оптике продольный собственный вектор, т.
е. направленный вдоль s, связан с бесконечным коэффициентом преломления
(так как электромагнитная волна чисто поперечная), и это справедливо в
отношении диэлектрика с любой кристаллической симметрией. Пусть s со-
i"a=3
ответствует & -в , так что
<^<3) = s (s • е • s) 1/2, "<3) = со. (4.4.23)
Тогда полная явная форма выражения (4.4.22) имеет вид
^(1)<8)^(1) . Р2)
' ш-
а выражение для генерированного электрического поля принимает вид
sfsf S.S, 1
--ч~2---------------------------- еИкЩ fe- 4.4.25)
п \2 _ , ( п У _ , spepqsq \ Hk 1, к \ /
пм) U(2); J
Так как возбуждение производится механическим образом и, следовательно,
имеет акустическую природу, то его фазовая скорость У0= юД имеет порядок,
скажем, 3-105 м/с; поэтому коэффициент п = с/сф - величина порядка 105,
что очень велико по сравнению с оптическими коэффициентами преломления,
равными по порядку величины единице. Соответственно этому, первые два
члена в выражении (4.4.25) в 108-1010 раз меньше последнего, поэтому это
выражение можно обоснованно упростить:
Ei = - 77" eUkUi, fe- (4.4.26)
bqVqpbp
Это первая приближенная формулировка, учитывающая порядок акустических и
оптических явлений при волновом распространении (см. ниже § 4.6).
§ 4.5. Обратный пьезоэлектрический эффект
235
§ 4.5. Обратный пьезоэлектрический эффект
Д. Пьезоэлектрическое упрочнение
