Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
О\ОСКЬ MW /
^Ы! - ~ ( HF ) ^kK^lM^jN = ek-MN^kK^iM^lN'y (4.3.23)
0\ К MN /
/ \
%ц = - ущ д(?-J = %KL^iK^IL-
Несколько математических теорем, касающихся линейной теории,
сформулированной выше, можно найти в книге Новац-кого [Nowacki, 1983].
Симметрия ряда тензоров по отношению к парам их индексов позволяет ввести
шестимерную матричную систему обозначений (так называемую систему
обозначений Фойгта в R6) по следующим правилам соответствия:
Пара симметричных (г, /)-> 11 22 33 23-32 13-21 12-21
тензорных декарто- I ж ж ж ж ж ж
вых индексов (/, /) + I + + + I
Матричный (шести- а -> 1 23 4 5 6
мерный) индекс
В этих обозначениях уравнения (4.3.21) принимают вид
Ta = CapSp- Ska Ek, Dt = &цЕ] + eiaSa, (4.3.24)
6 6X66 (3 x 6)r 3 3 3X33 3X66
или в символьной записи (Т - транспонирование)
т = СЕ • S - еГ • Е, D = Е • Е + е • S, (4.3.25)
где
S = (Sa, сс= 1, 2, ..., 6}фф-{"(fe, d\ k, 1 = 1, 2, 3}.
Эта схема позволяет собрать все ненулевые компоненты матриц материальных
тензорных коэффициентов из уравнений
(4.3.24) в одну таблицу 9X9. Пример дан на рис. 4.3.1 для кристаллов с
типом симметрии 6/п/п. Полную систему таблиц с численными значениями
коэффициентов можно найти в книгах и статьях, посвященных теории
пьезоэлектричества [Auld, 1973; Bhagavantam, 1966; Cady, 1946;
Dieulesaint, Royer, 1980; 1984; I. R. E., 1949; 1958; Mason, 1950, 1966;
Maugin, 1985; Ristic, 1983; Tiersten, 1969].
В данном примере (кристалл типа 6mm) имеется пять независимых
коэффициентов упругости: с\2 = с2\, си = с22, с13 =
230
Гл. 4. Упругие диэлектрики и пьезоэлектричество
= С3\ = С23 - ^32, Сзз, С44 - ?55 [^66 (^11^12)/^] > три НеЗЗВИСИ-
мые пьезоэлектрические постоянные: ег\ = е32, е33, е15 =е24; две
независимые электрические постоянные: ец = е22, езз- Коэффициенты имеют
порядок 10" Н/м2, пьезоэлектрические постоянные 1-10 Кл/м2,
диэлектрические постоянные (или проницаемости) 10-10 Ф/м.
Замечание (i). Вычислив Sp = '/2 (х"и, J + 0,?4),
(4.3.26)
найдем
2Р = + xh^ijEiEj,
(4.3.27)
что есть сумма потенциальных акустической и электрической энергий.
Рис. 4.3.1. Таблица матриц из коэффи-
циентов упругости, пьезоэлектрических и Замечание (и). Наве-
диэлектрических коэффициентов в систе- денное пьезоэлектричество, ме с
кристаллографическими осями (слу- Рассмотрим кристалл, име-
чай гексагональной симметрии 6mm): ..." *___
• ненулевая постоянная; • нулевая по- ющии центр симметрии, для стоя
иная; •-• равные постоянные; X КОТОрОГО симметричный ТвН-постоянная (сц -
с12)/2. зор напряжений Пиолы -
Кирхгофа формулируется в виде (4.2.29); проведя варьирование в
лагранжевых вариациях полевых и определяющих уравнений около начального
состояния с ненулевым электрическим полем 0Е, найдем, что уравнение
(4.3.17) 1 заменится на уравнение
t/г = djikieki - eh ,-ek, (4.3.28)
где
ekij (0^) = ^MN.KlPiK^/L 0Ep^pN^kM ~ e\\i (4.3.29)
- тензор наведенного пьезоэлектричества, образованный из тензорного
коэффициента электрострикции в присутствии электрического поля. Очевидно,
e\t исчезает вместе с последним. Также обнаружено, что в присутствии
внешнего электрического поля тензор напряжений Коши не сводится к тензору
%п и он не симметричен. В этом случае в полевые уравнения,
линеаризованные относительно состояния с электрическим полем, входят
ненулевые пондеромоторная силы и момент. Электрические поля, создающие
дополнительные эффекты, играют важную роль в
х I::::: I
• •
X
• •
§ 4.4. Электрическое поле, создаваемое пьезоэлектрическим эффектом 231
измерениях электроупругих постоянных более высокого порядка, входящих в
уравнение (4.2.26) (см., например, [Tiersten, 1973]).
Замечание (iii). Уравнение движения (4.3.19) i через определяющие
уравнения (4.3.21) все еще связано с полной системой уравнений Максвелла.
Это означает, что хотя мы требовали только малость амплитуд сигналов (как
перемещений, так и полей) и не налагали ограничений на диапазон частот и
длин волн (см. § 4.6), тем не менее предполагается, что длина волны
достаточно большая, раз мы имеем дело с феноменологической теорией.
§ 4.4. Электрическое поле, создаваемое прямым пьезоэлектрическим эффектом
Рассмотрим следующую задачу. Пусть и - поле вектора перемещения,
изменяющееся во времени по гармоническому закону (с фиксированной
монохроматической частотой со). Какое электрическое поле Е генерируется
полем и (со) в данной системе? Исследуем этот прямой пьезоэлектрический
эффект
и(со)^Е. (4.4.1)
Иными словами, мы должны получить уравнение, описывающее поле Е, в
котором и входит как вынуждающая величина. Для этого рассмотрим уравнение
(4.3.19)2, возьмем от него ротор, учтем последнее уравнение (4.3.19) и
второе соотношение
(4.3.21). В результате находим искомое уравнение
1 г)2 д2
[V X (v X E)L + ^ ги ~j2- Ej = - eilk -Е-. u,t k. (4.4.2) Используя
условие
u = uQexp(/co/), (4.4.3)
будем искать решения уравнения (4.4.2) в виде
Е = Е0 exp [i (kr • s - со/)]. (4.4.4)
Подставив выражения (4.4.3), (4.4.4) в (4.4.2), получим
