Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
имеет место соотношение
(c)* = JXKt tDt = JXKt t (Et + Pt) = JXKt t [&i - 4- (v X B)? + P]: в
переменных 6и8 это соотношение имеет вид
(c)к = JCkL(r)l - j- XKt i [v X (F. 93)1, - -щ- • (4.2.30)
К
§ 4.3. Линейная теория пьезоэлектричества Фойгта
Простейшую линейную теорию можно получить линеаризацией нелинейных
уравнений относительно естественного состояния, соответствующего
конфигурации тела без полей, деформаций и напряжений. В соответствии с
формализмом §2.15 положим Ж1=ЖЯ, где Жр таково, что
0х = X, 0Ekl = 0, 0Пк = &Ki> 0 Pi=Qy ()Ei=Q< 0 = 0.
(4.3.1)
15 Ж. Можен
226 Гл. 4. Упругие диэлектрики и пьезоэлектричество
Динамические поля с малой амплитудой вблизи состояния определяются
лагранжевыми вариациями
u = 6xi(X, о,
ei = (^х(r)к) ^Ki> = bxBit (4.3.2)
Pi = (бхПк) bKi, af = 6xcof.
В начальном состоянии
of - О, of(n) - o(r)f - (4.3.3)
положим
fi=bxfi> Tt = 6xTfm,
Тг/ = бxtq = (бxTki) бхг.
(4.3.4)
Можно заметить, что выбор начальной конфигурации в виде
(4.3.1) означает
6xfL = 0, 6xTfmt = 0, bx(#iPi) = 0, (4.3.5)
так как все эти варьируемые величины квадратичным образом зависят от
электромагнитных параметров. Поэтому в формулировке полностью линейной
теории, т. е. теории, полученной линеаризацией уравнений относительно
начальной конфигурации
(4.3.1), пондеромоторные силы и моменты отсутствуют-, остается только
один "упругий" тензор напряжений t?, линеаризованная форма которого
обозначается через т. Взяв лагранжевы вариации уравнений (4.2.2) -
(4.2.5), получим
Ро Ut = fi + Xn,b til = xii в Dt, (4.3.6)
njxli = Tl на dDt, (4.3.7)
7Х* + 7Т = °. ?-Ь = 0
1 дА в Dt) (4.3.8)
vXh-v.d=o
n X [e] = 0, n • [b] - 0 ,,л rjl _ на dDt. (4.3.9)
n X [h] = 0, n • [d] = (of
К этим уравнениям надо добавить уравнения (следствия
(4.2.9)):
til = C*tjklekl f kijpki еЫ==Щк,1),
el = aijPj + fiklekl,
§ 4.3. Линейная теория пьезоэлектричества Фойгта
227
з также уравнения
hi - bt (нет намагниченности),
di = ei + ph
(4.3.11)
Cpijki - (~дё We ) - C\iD(ki) - Cluj,
oV KL MN J
(4.3.12)
Последняя система уравнений термодинамическим образом определяет значения
материальных тензорных коэффициентов пьезоэлектрического материала в
состоянии (4.3.1). Очевидно, что эти тензоры удовлетворяют определенным
условиям тензорной симметрии, так что Cpijkl, fkl и a{j имеют самое
большее двадцать одну, восемнадцать и шесть независимых компонент
соответственно. Первый тензор - это тензорный коэффициент упругости,
рассчитанный при постоянной (равной нулю) поляризации. В стандартной
формулировке линейной теории пьезоэлектричества Фойгта вместо
определяющих уравнений (4.3.10) используются определяющее уравнение,
содержащее тензорный коэффициент упругости, рассчитанный при постоянном
(равном нулю) электрическом поле, и соответствующее ему определяю-• щее
уравнение для электрической индукции, выражающее ее через малое
электрическое поле. Чтобы получить эту стандартную формулировку,
предположим, что тензор ац невырожден, так что существует обратный тензор
Применив оператора^1 ко второму уравнению (4.3.10), найдем
(4.3.14)
и тогда выражение для щ переписывается в виде
- fmiiampfpkl)eklJEaikflliek' (4.3.15)
16*
228 Гл. 4. Упругие диэлектрики и пьезоэлектричество
мы можем выписать определяющие уравнения в стандартной ; форме
тг/ = CijkiUk, i dki]?k - Т/г, ^ g
di = eiiei -j- eikiukt i,
где euj - пьезоэлектрический тензорный коэффициент, а е</ - тензор
диэлектрической проницаемости. Легко найти, что соответствующее выражение
для внутренней энергии единицы объема имеет вид
2 = Уг (Tijuit j etpi) = у2Cfjk[u^ juk^ t eikluki fit V
(4.3.18)
Нужно отметить, что все полевые величины, входящие в уравнения (4.3.6)-
(4.3.18), малы (в определенном смысле), поэтому эти уравнения не работают
в случае достаточно сильных электрических полей. Имея в виду это
ограничение, вернемся к прежним обозначениям для электромагнитных величин
D, Е, Р, В, Н, так что динамические уравнения линейной теории
пьезоэлектричества примут форму:
В области Dt
р0щ = Тг-Д / + fi (р = р0),
VXE + j^- = 0, V • В = 0, (4.3.19)
7 X в-о, V • D = 0.
с dt '
На границе области dDt (неподвижной и совпадающей
с dD0 в линейной теории):
Щ%ц == ТI,
я X [Е] = 0, п • [В] = 0, (4.3.20)
л X [В] = 0, п • [D] = (c)f;
из последних уравнений следует [В] = 0 на поверхности dDt', вне области
Dt имеют место уравнения Максвелла в вакууме; линейные определяющие
уравнения (4.3.17) переписываются
в виде
ХЧ ~ CijkiUk, I ektjEk, ^ g 21)
Dt = еijEj -j- eikiuk< i.
Очевидно, выражение для внутренней энергии (4.3.18), т. е.
2 = '/2Cfjklui' { - elklukt tEt - l/2%eijeiej, (4.3.22)
есть не что иное, как (изотермическое) разложение (4.2.26), ограниченное
квадратичными членами, выписанными выше
§ 4.3. Линейная теория пьезоэлектричества Фойгта 229
пунктирной линии. Действительно, если бы мы взяли за исходную
формулировку § 4.2, п. В, то, выполнив варьирование уравнений в
лагранжевых вариациях, получили
Cffkl - (-др др 1 ^IK^lL^kM^lN =Ci(LMN^iK^lL^kM^lN,
