Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
использование солей Рошеля в приемниках подводной лодки Клейном во время
второй мировой войны, открытие кристаллов со свойствами сегнетоэлектриков
фон Хиппелем и Вулом в 1945 г., открытие пьезокерамик и совсем недавно
пьезополимеров.
Кроме того, была найдена область одного из наиболее эффективных
приложений пьезоэлектричества - неразрушающий
4) Piezein - давить (греч.).
220
Гл. 4. Упругие диэлектрики и пьезоэлектричество
контроль системами, использующими поверхностные акустические волны, а
также применения при генерации нерассеиваю-щихся волн в радарной технике,
создание тонкими пленками колебаний очень высокой частоты, в акустической
микроскопии (с частотами ~ 1010 Гц)-в общем везде, где есть колебания
самой разной частоты: в диапазоне от 100 до Ю10 Гц. В наиболее
современных приложениях, кроме пьезополимеров, используются
пьезоэлектрические порошки - гранулированные (в виде порошка) материалы с
очень мелкими зернами - пьезоэлектриками Д Сложные нелинейные явления в
этих материалах позволяют использовать их для хранений информации -
присутствует эффект памяти, а также для преобразования последовательности
сигналов [Pouget, 1982].
Имеется много монографий, полностью или частично посвященных линейной
теории пьезоэлектричества; это прежде всего монографии [Auld, 1973;
Dieulesaint, Royer, 1980; Nelson, 1979; Ristic, 1983]; ряд математических
теорем имеется в книгах Но-вацкого [Nowacki, 1975, 1983]. Нелинейные
аспекты затрагиваются в краткой монографии автора [Maugin, 1985]. Данное
здесь изложение отличается лишь большим вниманием к формулировке
приближений (линейности, квазиэлектростатики), лежащих в основе теории, и
некоторыми наиболее новыми приложениями в ультраакустике. В § 4.2
формулируются различные варианты нелинейной теории, полученной в гл. 3. В
§ 4.3 представлена классическая линейная теория. Прямой
пьезоэлектрический эффект демонстрируется в § 4.4 на примере
возникновения электрического поля, а рассмотрение обратного эффекта в §
4.5 приводит к понятиям упрочнения и коэффициента электромеханического
взаимодействия. В § 4.6 вводится приближение квазиэлектростатики,
применимое к большинству задач, в которых характерные величины
определяются прежде всего акустикой, а не электромагнетизмом. В § 4.7-4.9
рассматриваются задачи о пьезоэлектрических колебаниях при обработке
сигналов и в других устройствах.
Развитие темы естественно подводит к понятию пьезоэлектрических
поверхностных акустических волн - обобщенных волн Рэлея (§ 4.10) и волн
Блёстейна-Гуляева (§ 4.11). Уделяемое им внимание обосновывается
важностью устройств с поверхностными акустическими волнами в обработке
сигналов. В конце главы рассмотрены некоторые элементы нелинейной теории
пьезоэлектричества и ее применение к анализу таких
о Такие материалы, очевидно, требуют значительно более сложного
математического моделирования, чем то, которое рассматривается в этой
главе. Мы отсылаем читателя к оригинальным работам [Pouget, 1984; Pouget,
Maugin, 1983а, Ь].
§ 4.2, Нелинейные полевые и определяющие уравнения 221
устройств, как интермодуляторы и акустические преобразователи (§ 4.12), и
даны некоторые замечания по поводу пьезоэлектриков - полупроводников, при
рассмотрении которых нужно учитывать электропроводность и диффузию
носителей заряда (§ 4.13).
§ 4.2. Нелинейные полевые и определяющие уравнения
А. Первая формулировка
Нелинейно упругие намагничивающиеся диэлектрики в приближении динамики
Галилея описываются системой из полевых и определяющих уравнений,
выведенной в гл. 3 (§ 3.6 для адиабатического процесса). Эти уравнения
можно записать как для текущей конфигурации, так и в лагранжевой системе
координат. Полевые уравнения для текущей конфигурации имеют вид
Уравнение неразрывности
р pV • v = 0 в области Dt.
(4.2.1)
Уравнение движения
pv = f+fL + divtE в Dt, tijtfi =tfn) i + tij (in -f- VjGt) на dDf.
(4.2.2)
(4.2.3)
Уравнения Максвелла в области Dt
vxE+Tir==0- v-&=o,
VXH-j4?- = 0, V • D = 0; '
(4.2.4)
на границе области dDt
nXFJ = 0, n • [В] = 0,
(4.2.5)
где
П X [Щ = 0, n • [D] = Wf,
tft = BjBi + EjEt - Va (E2 + B2) 6">
(4.2.6)
"Г = Е + ууХВ, *=H-7vXD, G = yEXB, f = _(V.p)|+ipXB,
H = B + |vXP, d = e + p.
(4.2.7)
(4.2.8)
(4.2.9)
222 Гл. 4. Упругие диэлектрики и пьезоэлектричество
Нелинейные определяющие уравнения задаются формулам"
(3.6.21), т. е.
1 jE
11- ~дЁ Xl,KXi,L- *"/> KL
и соотношениями
S = S(?KL) Пк.тО, 0 = (4.2.10)
Ekl = V2 (xi,Kxi,L ~ &Kl), Пк =JXK -'iPi. (4.2.11)
В материальной формулировке уравнения (4.2.1) - (4.2.5)
заменяются следующей системой уравнений:
Уравнение неразрывности
Ро = ^Р- (4.2.12)
Уравнение движения
р0х = Л + FL + yR • Тв в области D0, (4.2.13)
АДГ** = 7'(^) < + уФщ (TFji -f VjGt) на границе dD0, (4.2.14)
где величина определена уравнением (2.7.5).
Уравнения Максвелла
7лХ@ + 4(r)==0' *vs=°
. в области /)0 (4.2.15)
V"X#-7(r) = О, V*-(c) = 0
и
NXfe + |(r)X(F-'-v-V)1 = 0, N-m = 0,
