Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
уравнений линейной теории термоупругости.
(а) Кинематические уравнения
Xt - e%/i(XK, t) = 6iKXK -\-Ui(XK, t), (2.11.1)
F = (V*#)r=I+H, т. e. xitK = 6iK + uitK, (2.11.2)
E = (С - 1д) = (Нг + H + HrH). (2.11.3)
Здесь (Н)" = ы,-,к - градиент вектора перемещения щ в материальных
координатах.
Линейной теории термоупругости посвящено много монографий, одна из лучших
принадлежит Новацкому [Nowacki, 1975].
§ 2.11. Линейная теория термоупругости
131
(Ь) Балансные уравнения
p0 = pdetF (для массы),
(2.11.4)
(2.11.5)
(2.11.6) (2.11.7)
pv = divt + pf (для импульса), t = tr (для момента импульса), р0т| == ph
- V • q (для энергии).
(с) Определяющие уравнения
г|) = г|з(Е, 0),
(2.11.8)
(2.11.9)
(2.11.10)
qK = XKttqt = -KKL(E, e)GL + o(IGI), |G|->0. (2.11.11)
Уравнения линейной теории термоупругости принимают очень простую форму,
если предположить, что в отсчетной конфигурации поле температуры
однородное 0(f = ?o) = 00, а материал не напряжен, т. е. находится в так
называемом естественном состоянии. Второе предположение означает, что
Линеаризуем систему уравнений (2.11.1) - (2.11.11) относительно этого
естественного состояния с пространственно однородной температурой 0О; для
этого будем предполагать, что величины | Н |, ( Н |, | 0 - 0О |, | 0 |, |
G | и | G | остаются малыми (т. е. бесконечно малыми первого порядка) в
течение всего термоупругого процесса, так что слагаемыми, содержащими
произведения этих величин, можно пренебречь. Разложив в ряд функцию
(2.11.8) и учитывая малость изменений ее аргументов, представим р0ф в
виде
2 = р'о'ф (Е, 0) = - РоЦо (6 - 90) + (6 - 0о) М [Е] - (0 - 0О)2
+
где г]0 - удельная энтропия при t = t0, М и С - линейный и квадратичный
операторы соответственно. Очевидно, уравнение
(2.11.3) заменяется линеаризованным соотношением Е=(Н7 + + Н)/2; т. е.
Екь = бмбцещ, также очевидно, что / " 1, р " ро. Для уравнений (2.11.9) и
(2.11.10) с точностью да
+ Т С[Е, Е) -f- члены более высокого порядка, (2.11.13)
9*
132
Г л. 2. Элементы механики сплошных сред
членов первого порядка малости имеем
tji - Cjtkieki + (9 - 0О) Mjh (2.11.14)
Л = Л0 + ^-(9 - 60) - Ро1Мце1Г (2.11.15)
Тензор, введенный соотношением
называется изотермическим тензорным коэффициентом упругости. Этот тензор
удовлетворяет условиям симметрии
Уравнение (2.11.14), если в нем пренебречь вторым слагаемым в правой
части, выражает знаменитый закон Гука для линейно упругих анизотропных
материалов. Поэтому операторы С, удовлетворяющие условиям (2.11.17),
можно назвать операторами ГукаСкалярная величина rjo может быть выбрана
произвольно, так как энтропия определяется с точностью до аддитивной
постоянной. Скалярная величина, введенная соотношением
называется удельной теплоемкостью при постоянной деформации. Она равна
количеству тепла, получаемого единицей массы тела при повышении его
температуры на один градус от температуры 0о при условии, что Е
поддерживается равным нулю.
Уравнение (2.11.11) при записи с той же степенью точности, как и
уравнения (2.11.14) и (2.11.15), принимает вид
Подставляя, наконец, результаты (2.11.14), (2.11.15) и (2.11.19) в
уравнения (2.11.5) и (2.11.7), получаем
здесь точка над буквой означает теперь частную производную по времени.
Следует отметить, что в формулировку линеаризованных уравнений входит,
как это характерно для теории возмущений, только одна отсчетная
конфигурация, поэтому раз-
о Такие операторы являются вещественными симметричными линейными
операторами, отображающими множество симметричных тензоров второго
порядка на себя.
Cjiki - C(jt) (ki) = Сын-
(2.11.17)
(2.11.18)
qi = -Kfj(Qо)(c),/.
(2.11.19)
tp, / + Pofi = Po"i в объеме Bt " B0, (2.11.20)
po^0 - %Мцёц = (/Cf/0, /),, + PoA; (2.11.21)
§ 2.11. Линейная теория термоупругости 133
ница между индексами из больших и малых латинских букв теряет значение.
Для решения конкретных задач о поведении тел конечных размеров уравнения
теории термоупругости (2.11.14) - (2.11.21) нужно дополнить
соответствующими граничными и начальными условиями. Например, смешанная
задача теории термоупругости определяется как задача со следующими
условиями.
(a) Начальные условия при t = U:
u(x0, 0) = u", u (x0, 0) = v0, 0(xo, O) = 0o в ?0Ud5o- (2.11.22)
(b) Граничные условия
u = u на [to, tM), tnn, = ?(") i на 9>2 X Ro, tM),
6 = 0 на 93 ХЯ4, tu), q-n = q на 94 X [t0, tM).
(2.11.23)
Здесь 9iU 9z = 93[j 94 = дВ0, 9\ П 92 = 93 f) 94 = 0 (символ 9t
обозначает внутреннюю часть множества 9i, i= 1, 2, 3, 4, а символ 0 -
пустое множество); функции u0, v0, Во, u, t(ra), 0 и q считаются
заданными.
По вопросу о единственности решения задачи в рамках обсуждаемой теории
читатель может обратиться к книге Новац-кого [Nowacki, 1975].
В линейной теории термоупругости часто делаются дополнительные упрощения.
Во-первых, в уравнении (2.11.21) пре-небрегается слагаемым 0ОМцёц\ в
результате это уравнение ¦отделяется от уравнений для поля деформации и
становится независимым уравнением теплопроводности. Второе обычное
