Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
форму (2.10.12) - (2.10.15) и поток тепла удовлетворяет неравенству
(2.10.6).
128
Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
Из неравенства (2.10.6) можно получить некоторые следствия, если
предположить достаточно гладкую зависимость q от аргумента G.
Действительно, неравенство (2.10.6) можно записать в виде
называется тензором теплопроводности (в отсчетной конфигурации).
Предполагая, что q - достаточно гладкая функция в окрестности G = 0, мы
можем разложить q в ряд при |G] -"-0 при фиксированных Е и 8:
Подставляя первые слагаемые ряда в неравенство (2.10.16), получим при | G
| 0
Неравенство (2.10.19) должно иметь место для всех G в области определения
D. Для этого необходимо, чтобы q(0) = 0H G KG>0 для всех G, определенных
на D. В результате мы можем утверждать: в допустимых термодинамических
процессах, удовлетворяющих неравенству Клаузиуса - Дюгема и принципу
объективности, поток тепла обращается в нуль одновременно с градиентом
температуры. Таким образом,
и тензор теплопроводности К(Е, 8) имеет неотрицательно определенную
квадратичную форму. Уравнение (2.10.20) показывает, что в термоупругих
материалах невозможно создать поток тепла деформацией в однородном поле
температур. Это означает, что пьезокалорический эффект в термоупругих
материалах невозможен.
Для дальнейшего использования приведем уравнение
(2.10.18), записанное с учетом предыдущего результата:
Это уравнение есть не что иное, как нелинейное обобщение классического
уравнения теплопроводности Фурье (2.9.13). И действительно, оно
приводится к нему в случае бесконечно малых деформаций (см. ниже).
Если в вышеприведенном анализе вместо независимой переменной 0 и
зависимой п использовать в качестве таковых
q (Е, 0, G) • G < 0.
(2.10.16)
Величина
(2.10.17)
5(G) = q(0) - KG + о (| G I).
(2.10.18)
q(0)-G-G-KG + o(|G|2)<0. (2.10.19)
q(E, 0, G) |G=0 = 0
(2.10.20)
q(E, 0, G) = -К(E, 0)G+o(|G|). (2.10.21)
§ 2.10. Теория термоупругости
129
г] и 0, то оказывается, что вместо функции ф удобнее использовать функцию
е. Тогда получим, что уравнение состояния
(2.9.11) согласуется с соответствующим уравнением, полученным в
термодинамике Колемана. Однако, согласно последней, гипотезы,
использованные в классической термодинамике, излишни, так как выше было
показано, что допустимый термодинамический процесс изэнтропический тогда
и только тогда, когда он адиабатический. Уравнения (2.10.13) и (2.9.11),
если не обращать внимания на зависимость от 0 или т|, определяют, как
говорят, гиперупругий материал: его определяющее уравнение для напряжений
выводится из потенциала ф(Е) или потенциала е(Е). Другие различные
формулировки определяющих уравнений для термоупругих и гиперупругих
материалов можно найти в работах [Truesdell, Noll, 1965; Eringen, 1975;
Suhubi, 1975]. Перед рассмотрением теории линейной термоупругости дадим
краткий очерк теории изотропных гиперупругих материалов.
С. Изотропные гиперупругие материалы
В гиперупругих материалах тепловые эффекты не учитываются. Пусть задан
термодинамический потенциал -ф = гр (F) " Если среда изотропна, то мы
должны, согласно (2.5.4), убедиться в выполнении условия
ф (F) = ф (FP-1). (2.10.22)
Так как тензор Р-1 здесь произвольный, то положим его
равным RT Но, согласно п. 2.2.А, V = FR7 и V2 = В;
следователь-
но, для изотропного гиперупругого тела
ф = ф(В). (2.10.23)
Величина ф должна быть объективной, поэтому функция ф должна
удовлетворять условию инвариантности ф(В) = = if>(QBQ7') для всех
ортогональных преобразований Q в Жи Это соотношение выполняется
тождественно, так как, согласно уравнениям (2.3.30), величина В
объективная. Таким образом, ф есть изотропная скалярная функция
симметричного тензора второго порядка В. Согласно хорошо известной
теореме Коши такая функция может зависеть от В только через три его
главных инварианта 1а, а = 1, 2, 3:
Д = tr В,
/2 = сумма главных миноров матрицы В, (2.10.24)
73 = detB.
п См., например, работу [Weyl, 1939].
9 Ж. Можен
330 Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
Таким образом, мы должны получить (может использоваться как 1]), так и е)
е = е(!а). (2.10.25)
При помощи уравнения (2.10.13) или (2.9.11) и определения тензора В
показано, что для тензора t имеет место следующее выражение:
*=* {'"(ж)1+[(ж) +(ж)]в ~ (ж) В1=*г-
(2.10.26)
Отмечая, что, согласно теореме Кейли - Гамильтона,
В2 = /1В-/21 + /зВ_1, (2.10.27)
мы можем преобразовать уравнение (2.10.26) к виду
' = М(ж) в + ['• (ж) +(ж)]1 - '• (ж) В"НГ-
(2.10.28)
Определяющее уравнение в такой форме было получено Мур-нагханом
[Murnaghan, 1951]. Таким образом, если нам известна зависимость
(2.10.25), то мы, таким образом, имеем точное определяющее уравнение для
гиперупругого материала (2.10.28) с учетом (2.10.24) в том смысле, что не
делается никаких предположений относительно величины деформаций.
§ 2.11. Линейная теория термоупругости 1 >
Выпишем полную систему нелинейных уравнений для термоупругих
материалов, чтобы получить на ее основе систему
