Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
е. кромку, на которой касательная к s(t) плоскость разрывна и на которой,
следовательно, имеется два значения нормали и бинормали), неподвижную
относительно s(t), то соотношение (А. II. 16) нужно заменить на
соотношение
Jq-т dl= $ {Ve-q + 2Qq-N}da+J[q-t]?". (A.III. П)
c(t) s(t)~ Y Y
III. 2. Движение поверхности разрыва
Пусть поверхность а (t), движущаяся с абсолютной скоростью v, описывается
уравнением ср = ср(Х, t)~ const. Примем определения (А. II. 12) - (А.
11.15). Единичная нормаль
544 Приложения
N к о (t) и нормальная скорость V поверхности a(t) через функцию <р = ф
(X, t) выражаются по формулам
N = V(p/|Vcp|( (А. III. 12)
V = v • N = -йф/(5//| Уф I (А. III. 13)
соответственно. Так как ф = const на o(t) и У5ф = 0, то
выражения (А. III. 12) и (А. III. 13) можно переписать в
виде 1J
""¦дат F=-TШ\- <АЛ1|Л4>
Из уравнений (А. III. 14) следует, что
Т-<АШЛ5>
Легко видеть, что уравнение (A.III. 15) эквивалентно уравнению
1Г = 0, (А. III. 16)
где оператор 5/61 определен соотношением (А. 11.21).
Пусть f = f(X,t)-некоторая переменная, рассматриваемая как функция (X,
<); обозначим эту переменную через F(X, ф), когда она представлена в виде
функции X и ф; тогда
V<P = VF + J?v?, (A. III. 17)
и, согласно (А. III. 15),
VF=^+?Jf. (А. III. 18)
Можно показать, что зависимость
K = t"(N, X, t) (A. III. 19)
в принципе может быть определена из условия совместности системы
уравнений, описывающей распространение разрыва о (t) как волнового
фронта. В частности, функция w должна быть однородной первой степени по
вектору N, т. е. для любой скалярной величины К функция (A.III. 19)
удовлетворяет соотношению
KV = w (KN, X, t). (A. III. 20)
Следовательно, имеет место тождество Эйлера
За
(tm) = (А. III. 21)
К
1) Для одномерного движения вдоль оси х имеем V = -3<<р/3*ф. В этой книге
мы обычно вместо V используем обозначение с, если нет риска спутать его
со скоростью света в вакууме.
§ А. III. Линии и поверхности разрыва в механике сплошных сред 545
в материальных координатах. Это в свою очередь означает, что точка Y(f),
движущаяся со скоростью v с компонентами
все время остается на поверхности разрыва, а также что
dN " dw
-аГ=~ ркь-щ-< (A.III.23)
где Pkl = (>kl - NkNl - компоненты оператора проектирования Р (см. (А.
II. 13)) в отсчетной конфигурации. Соотношения (А. III. 22) и (А. 111.23)
доказываются следующим образом. Пусть t = t (X)-время прохождения
волнового фронта <р = О через точку X; тогда, согласно (АЛИ. 15),
(А. III. 24)
Положив в уравнении (А. III. 20) К = V~l, получим
ш ($, X, t) = ш {JL, X, t) = 1; (А. III. 25)
это - уравнение первого порядка для t(X). Дифференцируя (A.III.25) по Хк
и используя (A.III.24), найдем
dw д / N. Ч / dw N. dw\
д {NK/V) ~дХ~ (т) ~ ~ ('дХ^ (А. III. 26)
Это означает, что вдоль любой,кривой X = X(s) справедливы соотношения
dXR dw
ds d{NKjV)'
d (Nj\ / dw N. dw\ TTT
Is VT") = ~ \dT[ + ~T~ ~дГ) ' (A.III. 28)
Вдоль такой кривой время t- t(s) меняется так, что
dt dt dXK N " dw
~ds = lX^ ~1T " ~ d(NJV) = ' (A.III. 29)
поскольку w - однородная функция первой степени по N[V. Из соотношений
(А. III. 27) - (А. III. 29), записанных через zw(N, ХЛ), следует
равенство (A.III. 22) и уравнения
^№)~(?+>?). "А. III. 30)
^ = (А. III. 31)
(А. III. 27)
35 Ж- Можен
546 Приложения
Так как N - единичный вектор, то из уравнения (А. III. 31)* следует, что
dV dw . .. dw TTT
dt ~ dt ~^~W K dX" (A. 111.32)
подстановка этого выражения в (A. III. 31) дает уравнение (А. III. 23).
§ А. IV. Специальные системы координат
IV.1. Цилиндрическая система координат (г, 0, г)
Локальный ортонормированный базис обозначается через; {е,-, i = г, 0, z}.
Все полевые величины записываются в так называемых физических
компонентах.
Градиент скалярного поля Vcp
?Ф = |К + -г!!-е, + 4К <А- IV. 1>
Дивергенция векторного поля V • А
v-А = + (А. IV. 2}
Ротор векторного поля V X А VXA=(^-^)e,+ (^-^)e.+
+ 7-[|гМ,)-^]ег. (A.IV.3)
Лапласиан скалярного поля V2qp
+ + + (А. IV. 4)
Уравнение неразрывности dp/dt + V • pv = О
+ т W ^ +7 жМ + ж (р0") = °- (А-IV- 5>
Первое уравнение движения Эйлера - Коши pv = divt + f по оси г
( дог . dvr . vf> dvr 4 , догЛ
Р V dt + Vr dr + г дв г + Vz dz ) ~
==^Г + 7ЖГ + ^Г + 7^-/еб) + /г; (А. IV.6)
§ А. IV. Специальные системы координат 547
т.о оси 0
. (d"e I .. doe , 00 doe . oro0 . doe \ _
^)1"аГ+Уг'Ж + 7~'аГ_|" r dz )~
-TT + TTf + ^ + T^ + fe (A. IV. 7)
no оси z
"( dvz , " dvz , oe dvz , dvz \ _
^ 1-Ж + Ж + "dF J "
= 4r + 7^W + it + 7t'' + i- <АЛУ-8>
Бесконечно малые деформации e,y
диг 1 d"e I ur duzz
" ~ dr • 60 ~ г d0 "t" г ' zz dz '
2^=1г + т1г. *-=-? + #• <A-,v-9>
9 _ J_ dur_ , _due______________we
г0 - г d0 dr r
IV. 2. Сферическая система координат (г, 0, <р)
Градиент скалярного поля УФ
ГТГТт , 1 d(r) , 1 d(r) /д ту |
уф - - ег + - ее + г sin 0 dq> V ( )
Дивергенция векторного поля V•А
у . А = 4-4~{г2Аг) + -4-5 4г (Л" sin 0) -1-----------^L. (А. IV. 11)
г2 dr v г; 1 г sin 0 d0 v ь ' г sin 0 дф 4 7
