Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
{4j- + (V.q)v}.da+ J(qXv)-dx. (A.II.11> J
sit) s(t) c(t)
Положим вектор v совпадающим с единичной нормалью N к поверхности s{t) и
рассмотрим теорему Стокса (А. II. 10) ^ J Определим производную по
нормали dJdN, оператор проекта- | рования Р на локально касательную
плоскость к s{t), танген- | циальный или поверхностный градиент Vs на
s(t) и среднюк> j кривизну й поверхности s(t) по формулам ^
^r = N-V, (А. II. 12> 1
Р:е{/ = бг/-ад, Pi}N, = 0, Рц = 2, Р2=Р, (А.Н.13> ;
(?*), = Л/V/, (А. II. 14>
2Q = -V-N = -/уУг>/. (А. II. 15>
Учитывая соотношения N • N = 1 и (VN) • N = 0, имеем
[q-tdl= ^ {Vs • q + 2Qq • N} da, (A. II. I6>
C it) sit)
где
t = kXN (A. II. 17)
- единичная бинормаль к кривой с(/).
Если поле q тангенциально к поверхности s(t), т. е. q-N -
= 0 на s(t), то из уравнения (А. II. 16) следует
С q.td(= \ (Vs-q)da. (A. II. 18)
C it) sit)
Если s(^)-замкнутая поверхность (как, например, сфера), тс* левая часть
этого уравнения равна нулю.
Наконец, мы можем найти выражения для интегралов по-
подвижной поверхности s(t) типа {bjbt) \ ф da, где ф- ска-
sit)
лярное поле. Для этого можно применить соотношение (А. II. 11) в виде
$(</>N)-da = J {l^I + v[V-(^.N)]}da+ \ фх ¦ t dl.
sit) sit) С it)
(A. 11.19)
§ A. III. Линии и поверхности разрыва в механике сплошных сред 541
С учетом равенства (dfi/dt) • N = 0 это уравнение можно переписать в виде
± \ fda= \ {-|f+ ?•(*"(А.II.20)
S (/) S </)
Используя соотношения (А. II. 12) -(А. II. 14) и определяя производную,
связанную с движением поверхности s(t) вдоль ее нормали, можно получить
еще одну форму этого уравнения [Maugin, Eringen, 1977]:
Tl=i+VJiC r-vn. (A. II. 21)
W S **"= $ {-ff + V. W)}*!. (А.И.22)
s(t) s(t)
Отметим сходство уравнений (A. 11.22) и (A. II. 7).
§ A. III. Линии и поверхности разрыва в механике сплошных сред
III. 1. Теоремы переноса для областей с разрывами
Распространим часть результатов § А. II на материальные поверхности и
объемы, содержащие линии и поверхности раз-
Рис. A. III. 1. Поверхность разрыва.
рывов; линии и поверхности разрыва часто встречаются в механике сплошных
сред и более общо в физике сплошных сред (например, ударные волны, волны
ускорения).
Рассмотрим сначала материальный объем У, рассеченный поверхностью разрыва
o{t), движущейся с абсолютной скоростью v относительно неподвижной
галилеевской системы отсчета 52с (см. рис. A. III. 1).
542 Приложения
Разрывность поверхности a(t) означает, что некоторые полевые величины,
определенные на Т, являются кусочно-непрерывными и испытывают скачок при
переходе через о(0. Очевидно, что при помощи теоремы Грина - Гаусса
уравнение (А. II. 7) можно переписать в виде
-2Г$Ф = + (A. III. 1)
V V S
где объем Т с границей дТ в любой момент времени выбраны совпадающим с
пространственным объемом v с границей s. Применяя результат (A. III. 1)
к двум объемам Т+ и Т~ (см.
рис. A. III. 1), ограниченным поверхностями 9?+ (c) а+ и Р7- Ф о~
соответственно, получим
-jf ^ cfdv= ^ ~-dv + (pv • da - (pv • da, (A. III. 2)
r+ r+ &+ <J +
^ фdv-^-^-dv~\- ^ фу • da + ^ фУ • da. (A. III. 3)
r~ r~ ff- 0~
Теперь сложим эти уравнения и устремим о+ и о- к а. В результате получим
фdг;= jj -|j-dy + jj фу • da - ^ [фу] • da; (А. III. 4)
w-о у-ст дт-о ст(0
здесь Т - о и дТ - о - материальный объем и поверхность без точек,
лежащих на a(t)\ квадратными скобками обозначается скачок величины при
переходе через o(t):
[А] - А+ - А~; (А. III. 5)
здесь А+ и А~ - значения величины А на a(t) при подходе к поверхности с
положительной и отрицательной сторон нормали п к о (напомним, что ds =
nda).
Аналогичным образом устанавливается следующая обобщенная форма уравнения
(А. II. 1):
J V • A da + J[A]-da= J А • da. (A. III. 6)
Т-а ст(() дТ-a
При помощи этого соотношения второй интеграл в правой части (А.II 1.4)
можно преобразовать в объемный интеграл:
-jg J ф dv= J {+ V • ^)}da + J [ф(у -v)]-da. (А. III. 7)
V-a v-o ст(()
Аналогичным образом теорему переноса (А. II. 5) можно распространить на
открытую материальную поверхность 5v,
§ А. III. Линии и поверхности разрыва в механике сплошных сред 543
содержащую линию разрыва y(t), движущуюся с абсолютной скоростью v вдоль
9°. Обобщенная форма уравнения (А. II. 2) имеет вид
J (V X А) • <а?а + J[A]-dx= J A -dx. (А. III. 8)
Л'-у y(t) dff~y
Теперь нужно применить соотношение (А. II. 11) к материальной поверхности
s(^), ограниченной кривой c(t). В результате получаем
-г \ 4 d*= S {4г+
s(t) я(<)
+ (V • q) v j • da. +
+ \ (q X v) • dx.
C(t)
(A. III. 9)
Применив это соотношение к поверхностям 9'+ и {Р~ Рис- А-2- Линия
разрыва,
(рис. A.III. 2) и использовав
равенство (АЛII. 8), чтобы учесть наличие кривой у(t), найдем
^ q • da = Ц q • da + Ц [q X (v - v)] • dx. (A. III. Ю)
<y-y &-y y ")
Последний результат особенно важен для теории электромагнетизма.
Наконец, действуя в том же духе, легко показать, что если поверхность
s(t), фигурирующая в уравнении (А. 11.16), имеет сингулярную кривую у (т.
