Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
След тензора второго по-1:гТ = 7Д (А. 1.14)
рядка
Транспонирование (Г,7)Г = 7Д (А. 1.15)
Операция симметризации Гцр - 1/2 (7Д + Г/г) или
Г = i/2 (Т + ТГ) (А. 1.16)
Операция антисимметриза- Тцп = >/г (7Д - Г}{) или
ции Т° = >/2(Т-ТГ) (А. 1.17)
Дивергенция тензора (div Т)/... * = 7Д/... ь, г
(дивергенция выполняется по нер-волц/ индексу) (А. 1.18)
tr(AB )Т = АЦВН (А. 1.19)
"Модуль" тензора второго | А | = [tr (ААГ)]^2 (АЛ. 20)
порядка
§ А.11. Теоремы переноса в механике сплошных сред
II. 1. Теорема Стокса
Пусть Т - открытая односвязная область трехмерного евклидова пространства
Е3 с регулярной границей дТ с единичной внешней нормалью п. Пусть А -
векторное поле, имеющее класс гладкости по меньшей мере С1 в Y. Тогда мы
имеем, теорему Грина - Гаусса (трехмерную теорему Стокса)
^ V • A dv = ^ п • A da = ^ da. • А. (А. II. 1)
Г дТ дг
Пусть 9- открытая односвязная поверхность !) в Е3, ограниченная замкнутой
кривой 4F с единичным касательным вектором к, ориентированным в
положительном направлении, определяемом единичной нормалью п к 9. Тогда
мы имеем (двумерную) теорему Стокса
^ (V X А) • da = ^ А • dx = ^ (к • A) dt; (А. II. 2)
&
причем поле А должно иметь класс гладкости на 9* не
меньше
•С1. Теоремы (А. II. 1) и (А. II. 2) являются всего лишь частны-
Поверхность 9Р должна быть достаточно гладкой, т. е. иметь непрерывную
касательную плоскость во всех точках.
S38 Приложения
ми случаями общей теоремы тензорного анализа, известно как теорема
Стокса. Условия регулярности и доказательств"' теоремы можно найти в
книге [Kellog, 1929] или в любом другом учебнике по этому предмету.
Сформулируем следующее определение.
Определение. Интеграл от касательной компоненты вектор*-ного поля q вдоль
кривой 'g' называется циркуляцией:
IV(q) = J q -dx.
&
С учетом (А. II. 2) это соотношение записывается в виде
Г<г? (q) = ^ (V X Ч) • d&,
&
где & - любая регулярная поверхность, ограниченная криво# W. Это
равенство можно сформулировать в виде утверждения: Циркуляция вектора q
вдоль замкнутого контура равняется потоку вектора V X q через
поверхность, натянутую на этот контур.
Понятие циркуляции играет очень важную роль как в; теории
электромагнетизма, так и в кинематике континуумов. В частности, отметим,
что если векторное поле q потенциальное, т. е. имеет потенциал ф, такой,
что q == - Уф, то поле q безвихревое, так как V X q = 0, и для любой
замкнутой кривой r<g>[q] = 0. Доказательство утверждения, что векторное
поле безвихревое тогда и только тогда, когда его циркуляция по любому
стягиваемому контуру равна нулю, принадлежит Кельвину (см. [Eringen,
1975]; здесь приведены также другие родственные теоремы).
II.2. Теоремы переноса
Теоремы переноса имеют отношение к кинематическим изменениям интегралов
по линии, поверхности и объему. Сформулируем теоремы переноса в форме
лемм.
Лемма А. II. 1. Материальная производная по времени интеграла от
некоторого поля ф вдоль регулярной материальной линии 'g' вычисляется по
формуле
q>dx- ( {фс!х-]-ф(с1х • V)v). (А. II. 3)
Доказательство. Интеграл в левой части соотношения (А. II. 3) берется по
фиксированному отрезку в материальном
§ А. II. Теоремы переноса в механике сплошных сред 539
описании, так как линия ^ материальная. Поэтому оператор djdt
перестановочен со знаком интегрирования. Учитывая соотношение (2.3.8),
получаем равенство (А. II. 3).
Лемма A.U.2. Материальная производная по времени интеграла от поля ф по
регулярной материальной поверхности ЗА определяется по формуле
^ ф da = ^ (ф da + ф [- (Vv) • й?а -Ь (V • v) da]}. (А. II. 4)
sr sr
Утверждение доказывается переносом djdt под знак интеграла (так как З'
фиксирована в материальном описании) и использованием соотношений
(2.3.18).
Пусть q - векторное поле, определенное на 9°. Тогда можно сформулировать
следующую частную форму результата (А. II. 4):
-J- ^ q • da - q • da; (A. II. 5)
sr ST
*
здесь q - конвективная производная вектора q, определенная соотношением
(см. (2.3.50)):
q = q -(q • V)v + q(V • v) = ~ + V X(qXv)'-f v (V • q). (A. II. 6)
Лемма A. И. 3. Материальная производная интеграла от поля ф по
материальному объему У вычисляется по формуле
J ф do = J {ф -f (V • v) ф} dv = J {-Ц. + V • (v<p)} dv. (А. II. 7)
у у у
Доказательство проводится аналогичным переносом djdt под знак интеграла
(так как У фиксировано в материальном описании) и применением соотношения
(2.3.17).
Результат (А. II. 5) справедлив и для любой пространственной поверхности
s(t), ограниченной замкнутой кривой c(t), движущейся с полем скоростей v.
Тогда
? S 1"*"- S (&)¦**• <АП'8>
s(f) s(t)
где б/бt - производная по времени, связанная с движением *
s{t), а б/б?-производная, аналогичная конвективной производной, но только
v заменяет v, т, е. (ср. с формулой (А. II. 6))
lHlf + VX(qXv) + v(V.q). (А. II. 9)
540 Приложения
С учетом (А. II. 2) имеем
\ {V X (q X v)} • da = \(qXv)-"fx, (A.II.10>|
sit) c(i)
поэтому уравнение (A. II. 8) можно переписать также в виде -^$q-rfa = J
