Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
величину нелинейности зависимости для электрической поляризации, типичной
для керамик, и q - электромеханический коэффициент более высокого порядка
(см. выражение для энергии (4.2.26), записанное через другое множество
параметров). Для керамики PZT 65/35, например, имеем
р0 = 7.82 • 103 кг/м3, = 177 • 109 Па,
Ci = -1.5, С2 = 3.0,
h = 4.77-108 В/м, </= -30 м2/Кл, (7.13.12)
Р = 4.45 • 108 В/Ф, f = 15 м4/Кл2,
а уравнения (7.13.10) в явной форме имеют вид
т = v (S + C,s2 + C2S3) - h ((c) + ЯЪ%
(r) = P((r) + /(r)3)-A(S-f 2qS?>). (7.13.13)
Сформулированную систему уравнений можно исследовать аналитически (для
задач о распространении и эволюции волн ускорения, образовании ударных
волн, форме простых волн,
§ 7.13. Ударные волны в упругих ионных кристаллах
529
для приложений модулированных простых волн, основанных на использовании
распространения импульсов конечной амплитуды, высокочастотных импульсов с
малой амплитудой и т. д. см. [Collet, 1984; 1985]). Здесь мы изложим
результаты численных исследований, а для обсуждения нам понадобятся
только уравнения в частных производных (7.13.7) - (7.13.9). Эту систему
уравнений можно разрешить для переменных Т (или 5), (r) и F. С учетом
соотношений (7.13.3)2, (7.13.7) и (7.13.9) находим следующее
(обыкновенное) дифференциальное уравнение для (c):
AR^ + a№ (t) + Ь(c)3 (t) = с (0, (7.13.14)
где
Хг
a (t) = j (р - 2qhS) dX,
Хг
ь = \ tfdX=tf(X2-Xl), (7.13.15)
х,
хг
c(t) = \ fiSdX-,
здесь вместо S надо подставить уже полученное решение. Отметим, что при
R, стремящемся к бесконечности, ток I{t) стремится к нулю - это случай
так называемой моды напряжения (разомкнутый внешний контур); при R,
стремящемся к нулю, мы имеем так называемую моду тока (короткозамкнутые
электроды). Полученная система уравнений исследовалась численно [Maugin
et al., 1985].
В линейном режиме сигналы между электродами распространяются в обе
стороны без изменения своей формы. Для образца из керамики толщиной 0.25
мм и площадью электродов А - 1 см2 предположим следующее условие:
Т (Хъ t) = 0 в любой момент времени
(механически свободная поверхность) (7.13.16)
с начальными условиями
(c) (0) = 0,
(7 13 171
V (х, 0) = 0, S (X, 0) = 0 при Х,<ЙГ<Х2
во время первого прохода волнового фронта внутри образца (невозмущенное
состояние).
Во время следующего прохода начальное состояние перед волной будет
создано первым проходом и т. д. Внешний
34 Ж. Можен
530 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрики и керамики
электрический контур имеет сопротивление R = 25, 103 и 105 ОмД Скорость
создаваемого сигнала на излучающей стороне задается! либо в виде
ступенчатой функции, либо в виде функции, имею- '
н t
(И)
Рис. 7.13.2. Моделирование отклика керамического диска на нагрузку в
линейном режиме. (I) Отклик напряжения на нагрузку со ступенчатой
функцией скорости при разной величине сопротивления внешнего контура: (a)
R = 250 Ом, (b) R - 103 Ом, (с) R = 105 Ом. (II) Отклик напряжения для
нагрузки со ступенчатой функцией (а) и с функцией с графиком в виде
наклонной линии, переходящей в постоянную (Ь) при сопротивлении внешнего
контура R = 105 Ом.
щей график наклонной линии, переходящей затем в плато. Расчеты
производились для интервала времени, на котором волна
t, МКС
Рис. 7.13.3. Сравнение экспериментальных значений [Lysne, Bartel, 1975] и
теоретических результатов.
отражалась от собирающего механически свободного электрода в точке X - Х2
и возвращалась к излучающему электроду.
На рис. 7.13.2(1) изображен отклик напряжений для нагрузки со ступенчатой
функцией при разных значениях сопротивления внешнего контура: при R,
приближающемся к
§ 7.13. Ударные волны в упругих ионных кристаллах
531
нулю (мода тока), зависимость имеет резкий прямоугольный провал, а при R,
стремящемся к бесконечности, - треугольную
t
-С 1
Рис. 7.13.4. Отклик в нелинейном режиме и образование электромеханической
ударной волны (R = 105 Ом, PZT65/35); (а) деформация, (Ь) лагранжево
электрическое поле [Maugin Collet, Pouget, 1985].
форму (мода напряжения). Треугольная форма фактически достигается уже при
R = 105 Ом.
На рис. 7.13.2(11) приведен график зависимости для напряжения для обоих
типов нагрузки при одном и том же сопротивлении внешнего контура; на рис.
7.13.3 - сравнение экспериментальных результатов [Lysne, Bartel, 1975]
(видно запаздывание во времени и релаксация) с простыми теоретиче-
34*
532 Г л. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектршки и керамики
скими результатами в случае моды напряжения (мгновенный § отклик).
Предложена теоретическая модель с учетом внутрен-§ них диссипативных
механизмов [Collet, 1985], чтобы объяснить! заметную разницу между этими
двумя откликами. 1
В нелинейном режиме форма волны уже не должна оста- | ваться неизменной
при ее распространении сквозь образец. | На рис. 7.13.4 показан отклик
деформации и электрического ] поля в образце при задании деформации на
излучающей стороне в виде синусоиды при сопротивлении внешнего контура, j
