Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
с исходными полевыми уравнениями, получим следующие результаты {А = 1 +
а):
Щ = - (Ми/Мсп)ехр(- *iAi), х, > 0, (7.5.21)
Pi = (УААа) ехр (- x,/h,), х, > 0, (7.5.22)
( - (УЛ)ехр(- xjki), xt >0, ф = { О, х,<0. (7-5.-23>
Соответствующая плотность поверхностной энергии рассчитывается по формуле
(7.5.5):
w=-{blj2A)kv (7.5.24)
Результаты (7.5.21) - (7.5.24) формально совпадают с результатами для
кристаллов с центральной симметрией [Mindlin, 1970]. Для NaCl с
приведенными выше численными значениями показано, что ws ~ -59 эрг/см2.
Имеются и другие физические результаты. Постоянная затихания Xj в
кристаллах NaCl приблизительно равна половине расстояния между соседними
атомами, что указывает на чрезвычайно быстрое затухание при перемещении
от поверхности в глубь кристалла. Это в свою очередь означает, что
решение практически равно нулю вне пограничного слоя толщиной Хь
Фактически Xi, как определяется из данных по электронной дифракции, имеет
порядок расстояния взаимодействия [Germer et al., 1961]. Расчетное
перемещение частиц на свободной поверхности Х\ = 0 имеет порядок 1-3 %
межчастичного расстояния.
§ 7.6. Емкость тонких диэлектрических пленок
471
Этот результат согласуется с результатами, полученными из других моделей.
Мэйдлунг (см. [Benson, Yun, 1967]) из дискретного анализа обнаружил, что
перемещение' затухает как экспоненциальная функция расстояния до
свободной поверхности кристалла. Параметр г0Дь характеризующий скорость
затухания, рассчитан; его величина имеет порядок 1.75. Обнаружено, что
поверхностные эффекты не просто ограничиваются лишь несколькими первыми
слоями атомов около поверхности: влияние второго и третьего слоев
составляет приблизительно до 15%, а первого слоя - до примерно 3%.
Поверхностная энергия деформации и поляризации составляет около 30. %
полной энергии связывания, поэтому ею вряд ли можно пренебречь. Эти
результаты согласуются с экспериментальными наблюдениями Тоси [Tosi,
1964]. Наконец укажем, что ненулевые компоненты тензора напряжения
оказались равными
Исходя из данных табл. 7.4.2 и 7.4.3, замечаем, что t2ч имеет тот же
порядок, что и величина сц (равная % + 2р, если ее выразить через обычные
постоянные Ламе). Очевидно, напряжения очень быстро затухают при отходе
от поверхности дВ. Можно заметить, что величина А, появившаяся в
полученном выше решении, есть не что иное, как диэлектрическая постоянная
(вдоль кристаллографического направления [100] в кубических кристаллах).
В работах [Askar et al., 1971; Schwartz, 1969] исследована влияние
кривизны свободной поверхности дВ на примере простых задач о
цилиндрической и сферической полостях. Показано, что наличие кривизны у
внутренней цилиндрической поверхности приводит к уменьшению абсолютной
величины поверхностной энергии по сравнению со случаем плоской
поверхности и что давление около цилиндрической внутренней поверхности в
ионно-кристаллическом теле будет меньше на величину, прямо
пропорциональную плотности поверхностной энергии и обратно
пропорционально радиусу кривизны.
§ 7.6. Емкость тонких диэлектрических пленок
А. Классическое твердотельное решение
Рассмотрим линейное изотропное абсолютно твердое диэлектрическое тело с
электрической восприимчивостью %, представляющее собой слой толщины 2d,
неограниченно простирающийся в остальных двух измерениях.
Электростатическая
(7.5.25)
472 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрика и керамики
задача здесь одномерная, если считать, что координатная ось х
ортогональна плоскостям {х = -d} и {х = -\-d}, образующим границу слоя
дВ. Поэтому уравнение Максвелла
V2<p=V-P (7.6.1)
сводится к уравнению
е~Уг- 0 в области В, (7.6.2)
где
Р = Е = -Уф, е=1+х. (7.6.3)
Граничные условия имеют вид
(f(x = + d) = JrU, ф (х = - d) = - U, (7.6.4)
где 2U - наложенная разность потенциалов между двумя ограничивающими
плоскостями. Если w - абсолютная величина электрического заряда единицы
площади на обеих плоскостях, то мы также имеем соотношения
еЕх (х = + d) = w, еЕх(х = - d) = - w. (7.6.5)
Решение задачи, очевидно, имеет вид
Ф = Ux/d, -d^x^d, (7.6.6)
Ех= - U/d = const, (7.6.7)
?х = %ЕХ = - %U/d. (7.6.8)
Емкость диэлектрического слоя определяется по формуле
со- (7-6-9>
Емкость слоя прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости слоя и
обратно пропорциональна его толщине. Электростатическое поле постоянно
поперек слоя, а его потенциал меняется линейно между плоскостями.
В. Решение для упругих перемещений с учетом градиентов поляризации
Миндлин предположил, что аномальное поведение емкости тонких
диэлектрических пленок, наблюдавшееся Мидом [Mead, 1962], может быть
обусловлено электромеханическим
эффектом, не учтенным в классической феноменологической
теории пьезоэлектричества. Этот эффект можно описать в рамках
феноменологического подхода, если ввести градиенты поляризации. Пусть
х%хз - среднее сечение диэлектрического слоя (емкостного сэндвича). Это
есть плоскость как геометри-
