Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
здесь критическое поле Bcr, очевидно, определяется как значение
(полученное в работе [Goudjo, Maugin, 1983], к которой отсылаем
читателя), при котором Й может стать мнимой величиной, т. е. критическое
поле соответствует точке наступления динамической неустойчивости.
§ 6.17. Параметрическое возбуждение магнитоупругих пластин
Пусть приложенное поле магнитной индукции на рис. 6.14.1 имеет вид
0В = 0В cos (й</) ez, (6.17.1)
где Й0 - заданная или контролируемая частота. Очевидно, что в точке
резонанса йо = йN должно произойти что-то необычное. Чтобы рассмотреть
это явление, попробуем найти решение вида
(6.16.1), но с некоторой неизвестной функцией f(t) вместо множителя
ехр(/Ш). Показано [Goudjo, Maugin, 1983], что тогда уравнение (6.14.49)
переходит в уравнение Матье:
-§ + р[1-<7"ж(2й00]/=0, (6.17.2)
где
И1+чету]й' (6Л7'3)
§ 6.17. Параметрическое возбуждение магнитоупругих пластин 427
здесь Всг - та же самая величина, которая уже встречалась в уравнениях
(6.16.2), (6.16.3). Положив
z = 2Ш, е
а -Р
4Q,
.2 >.
4Q?,
(6.17.4)
приведем уравнение (6.17.2) к стандартной форме [Stocker, 1950]:
d2f
dz2
(6 + 8 COS z) f - 0.
(6.17.5)
Исследовать устойчивость решений уравнения (6.17.5) можно следующим
образом. Мы будем рассматривать устойчивость
(а)
Рис. 6.17.1. (а) Области устойчивости и неустойчивости на диаграмме
решений уравнения МаТье; (Ь) сдвиг вверх при малых е [Stocker, 1950].
по отношению к бесконечно малым изменениям; это означает, что если F(z) и
F(z) + f(z)- два решения обыкновенного дифференциального уравнения со
слегка различающимися начальными условиями, f(z)-бесконечно малая
вариация относительно F{z) и все решения f{z) связные, то F(z) -
устойчивое решение. В противном случае F(z) неустойчиво. Устойчивость
решений уравнения (6.17.5) исчерпывающе исследована на плоскости (6, е) в
стандартных учебниках (например, [Stocker, 1950]). Заштрихованные области
на рис. 6.17.1(a), согласно теории Хопфа, являются областями
устойчивости. Эти области и области неустойчивости смыкаются друг с
другом в точках (б = п2/4, 8 = 0}, где п - целое. Первая точка
определяется соотношением р = 0, и, следовательно, QB = BTms в
соответствии с (6.17.3). Магнитную индукцию и частоту можно нормировать,
если положить
х = В2, ^ = Q2 = (Qq/Q^)2. (6.17.6)
Устойчивость решений уравнения (6.17.5) можно теоретически исследовать и
в плоскости (х,у), а не (6, е). Обычно
428
Гл. 6. Упругие ферромагнетики
исследуется случай малых е для первых мод {б = п2/4, е = О,. я=1, 2}, т.
е. окрестность оси б на рис. 6.17.1(a). Это позволяет с хорошей точностью
получить результаты, проиллюстрированные в увеличенном масштабе на рис.
6.17.1(b).
Это приближение, конечно, соответствует вещественным значениям й в
уравнении (6.16.2), так как Б2 1. Легко получить
Рис. 6.17.2. (а) Области устойчивости и неустойчивости в задаче о
магнито-упругости с малыми начальными полями [Goudjo, Maugin, 1983]; (b)
экспериментальные результаты [Moon, Pao, 1969].
(рис. 6.17.2) и изображение контуров заштрихованных областей на рис.
6.17.1(b) в плоскости (х, у), координаты которой определяются
соотношениями (6.17.6), если учесть тот факт, что
Прямые линии pi и ри соответствующие периодическим решениям с периодом
2я/Йо, очерчивают первую, или главную, область неустойчивости (между
этими двумя прямыми) для основной моды колебаний. Кривые рг и рг
расположены по обе стороны от прямой линии у = { 1-х)/4, соответствующей
периодическим решениям с периодом 4я/йо', они ограничивают вторую область
неустойчивости фундаментальной моды. Форма этих линий такая же, что и в
пионерской работе [Moon, Рао, 1969], где рассматривалась очень длинная
пластина с простым закреплением (но с другими значениями величин Вст и
й#)-Эксперименты, проведенные этими же авторами, подтвердили правильность
анализа для главной области неустойчивости при малых амплитудах 0В (0 <
В2 < 0.3) на рис. 6.17.2(b) изображена также и вторая область
неустойчивости (см. рис. 8(a) в работе [Moon, Рао, 1969]). Нужно
подчеркнуть, что неустойчивость может возникнуть даже для малых значений
приложенного поля о В при й2^1 или ^^<1/4.
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.50
(Ь)
((r))
е = - х/4 у, б = (1 - х)/4у.
(6.17.7)
Литература 429
Литература
Akulov N. (1936). Zur Quantentheorie der Temperaturabhangigkeit der
Magne-tisierungskurve.- Zeit. Phys., 100, S. 197-202.
Alblas J. B. (1968). Continuum mechanics of media with internal
structure.-
In: Symposia Mathematica, vol. 1, Ed. Inst. Naz. di Alta Mat., p.
229-
252. - New York: Acad. Press.
Birss R. R. (1963). Macroscopic symmetry in space-time. - Rep.
Progr. Phys.,
26, p. 307-360.
Brown W. F. (1959). Relaxation behavior of fine magnetic particles. - J.
Appl. Phys., Suppl., 30, p. 130S-132S.
Brown W. F. (1966). Magnetoelastic Interactions. - New York: Springer-
Verlag.
Collet B. (1978). Higher order surface couplings in elastic
ferromagnets.- Int. J. Engng. Sci., 16, p. 349-364.
