Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
где А - постоянная, C(Z) и D{Z) - две неизвестные функции, а /о и J\ -
функции Бесселя. Первое и второе условия (6.15.6) приводят к равенствам
w = [/о (ая) - /о (ar)l> h (ая) - 9. (6.15.8)
Наименьший положительный корень последнего уравнения есть аа - 3.832.
Подставляя второе и третье выражения (6.15.7) в
(6.15.2) и (6.15.3) и принимая во внимание, что Д/0 + а2Л) = 0,
о Примеры других граничных условий, в том числе для упругого кронштейна и
для упругого зажима, рассматривались в работе [Goudjo, Maugin, 1983].
424 Гл. 6. Упругие ферромагнетики
получаем два следующих уравнения:
0в(^-а2фо(<хг)=0,
d2D 2 ч (6Л5-9>
oS {~§r-a2D)J0(ar) = 0.
Из симметрии функции <j> относительно оси Z и из условия
(6.15.5) легко видеть, что функции C(Z) и D{Z) должны иметь следующую
форму:
С(Z) = рch(aZ), D(Z) = уехр(- а| Z |), (6.15.10)
где [1 и у - постоянные. Их значения определяются из граничных условий
(6.15.4):
Р =Лх/Л, y^-^exp^sh^). (6.15.11)
где
Asa[ch(-^-) + psh(~)]. (6.15.12)
Подставив в выражение (6.14.50) найденные решения для ф и ф, получим
R = 0В2 /0 (от) {ц [(4 + aft) sh (-f-) - aft ch (-^-)] -
Aft}.
(6.15.13)
Таким образом, уравнение (6.15.1) с учетом предполагаемой формы (6.15.7)i
решения w,r имеет вид
Л/0(аг) |а2^5 - ~ [ц (4 -f а ft) sh -
-aAch(-~) - Aft]} = 0. (6.15.14)
При А Ф 0 это уравнение имеет нетривиальное решение тогда и только тогда,
когда
R2 ______________а2КЗ) _ . _v
0 н [(4 + ah) sh (ah/2) - ah ch (ah/2)] - Ah \ ¦ r
Это именно то уравнение, которое определяет критическое значение Вег
исходного поля магнитной индукции, ведущее к первой осесимметричной моде
изгиба пластины. Решение (6.15.15) можно упростить следующим образом. Так
как ft/a- обычно малая величина и aft = 3.832ft/a, то можно считать sh
(aft/2) л? "аЛ/2 и ch(aft/2)"l. Пренебрегая членами порядка (aft)2 н
учитывая определение (6.14.47), мы можем переписать уравнение (6.15.15) в
виде
оВ2 - ~(2 + aftp) (6.15.16)
§ 6.15. Магнитоупругий изгиб круглых пластин
425
здесь р,- магнитная проницаемость (а не одна из постоянных Ламе). Для
типичного материала с ?' = 2.1-10й Н/м2 = 2.1-• 1012 дин/см2 и v"0.3 из
уравнения (6.15.16) следует
Вег " 823 3/2 Тл = 8.23 • 106 (4)3/2 Гс. (6.15.17)
Таким образом, Всг меняется как (h/a)3/2 Точно такой же закон получается
и при других граничных условиях на контуре пластины, но с другим
численным коэффициентом в выражении
(6.15.17). В работе [Goudjo, Maugin, 1983] показано, что этот коэффициент
для жесткого контура наибольший; для простого кронштейна он в десять раз
меньше, для упругого кронштейна- в двадцать раз, а для упругого зажима -
в сорок. Экспериментальное подтверждение формулы (6.15.17) несколько
неопределенное, так как оказывается, что результат (6.15.17) существенно
зависит от выбранной формы тензора электромагнитных напряжений,
использованной в теоретическом анализе. В результате у некоторых авторов
найденное значение поля превышает экспериментальное значение более чем на
1001% [Moon, Pao, 1968]. Однако теоретический результат, полученный в
работе [Wallerstein, Peach, 1972], на 20 % превышает экспериментальные
значения изгиба, но он относится к задаче об изгибе магнитоупругих
стержней, которую можно исследовать аналогичным образом (см. также
[Dalrymple et al., 1974; Moon, 1978; 1984]). Это же замечание относится и
к случаю прямоугольных и очень вытянутых пластин [Goudjo, Maugin, 1983;
Wallerstein, Peach, 1972]. Исследование влияния конечности размеров на
критические значения поля для изгиба консоли можно найти в работе [Van de
Ven, 1984], а в работе [Goudjo, Maugin, 1983] проведен учет эффектов
размагничивания для пластины.
§ 6.16. Колебания магнитоупругих пластин
Для исследования нестационарных изгибных колебаний пластин из мягкого
ферромагнетика, когда частота колебаний находится далеко от
электромагнитного диапазона частот, достаточно рассмотреть уравнение
(6.14.49). В этой динамической задаче мы проигнорируем механические
граничные условия на контуре С; мы предпочтем постулировать определенный
правдоподобный характер изгиба, например тот, который демонстрирует
бесконечная пластина с большим числом тройных пролетов или линий формы,
соответствующим целым кратным (включая нулевое) от длины волны Я величин
X, У и X + У.
426 Гл. 6. Упругие ферромагнетики
Поэтому положим
до (X, Y, t) = до0 (sin sin -f sin sin ехр (/й/),
(6.16.1)
ф (X, Y, Z,t) = w (X, Y, t) g (Z), ф (X, Y, Z, t) - w (X, Y, t) g (Z),
где й- частота, a k=2n/X - волновое число изгибной моды, до следует
отождествлять с функцией прогиба в той области физического пространства,
где ей можно дать такую интерпретацию (|Z|</j/2). Подставив пробные
решения (6.16.1) в уравнения (6.14.49), (6.15.2) и (6.15.3), получим
следующее дисперсионное уравнение:
0? = аЪ(1-2 В2), (6.16.2)
где йуу - естественная частота колебаний пластины в отсутствие магнитных
полей, а В определяется соотношением [Gou-djo, Maugin, 1983]:
B2 = (0BIBimsf, Bms = V 2Bcr; (6.16.3)
