Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
(6.14.21) образуют систему для возмущенных величин (ф, о|э, и.к) и t^L =
&Ki&Lj?ii ¦
Решение в рамках классической теории пластин
Обозначим через и, v, w перемещения в среднем сечении пластины. Согласно
основному предположению теории тонких пластин (о форме распределения так
называемого поля перемещений Кирхгофа - Лява), можно записать
uz (X, Y, Z) = w(X, Y),
§ 6.14. Уравн., описывающие магнитоупругие ферромагнитные пластины 421
Тогда выражения для компонент деформаций имеют вид
7 d2w rj d2w
еХХ - U, X ~ ? "Дуг" > eYY - v, Y ~ ? ~xvT.
дХ (6.14.36)
О I 0-7 d2W
2exY - и, х + v, y ~ 2Z dxdY '
В классической теории тонких пластин (теория Кирхгофа - Лява) влиянием
деформаций в среднем сечении на деформацию изгиба пренебрегается, поэтому
уравнения (6.14.36) приводятся к виду
гу д2w _ ry d2w _ 7 d2w /с , Л Q7S
&ХХ ^ qx2 ' ** gy2 ' ^XY " дХ дY '
Тогда из (6.14.21) получаем
tzz ~ Т~v)ezz ~Ь v (ехх + буу)]. (6.14.38)
Но граничное условие (6.14.34)^ накладывает условие tzz = О при Z = ±h/2.
Строго следуя обычной теории тонких пластин, мы можем предположить, что
tzz = 0 во всем объеме пластины, так что соотношения (6.14.37) и
(6.14.38) позволяют записать
ezz = T=lZhw' A = + (6Л4-39>
Остальные две компоненты граничного условия (6.14.34) имеют вид
tzx~ 0^W, X- 0#Ф, X. tZY = o^2w,Y - О^Ф, Y- (6.14.40) Проинтегрировав
уравнение движения (6.14.20) по толщине пластины и введя сдвиговую силу q
с компонентами
+ А/2
qK= \ tKzdZ, K = X,Y, (6.14.41)
-hi 2
получим
р0hw = qx,x + dY,Y - li z\th$r (6.14.42)
Если проинтегрировать по толщине пластины это же уравнение (6.14.20), но
предварительно умноженное на Z, то с учетом определения момента
+ А/2
mKL= \ ZtKLdZ, К, L принимают значения X, Y (6.14.43)
-А/2
и соотношений (6.14.35), (6.14.38) получим
+А/2
ДЗ Г
~' PoU к~ mXK, X + mYK, Y ~ Як + М'О^ ] j'^dZ-jr
- А/2
+ Z0B [0Bw, к-Ъ.к-vt хГ-щЬ (6.14.44)
422
Гл. 6. Упругие ферромагнетики
здесь К = Х, У. Из соотношений (6.14.42) и (6.14.44) можно исключить q,
если применить следующую процедуру. Продифференцировав уравнение
(6.14.44) последовательно по К = Х, У, просуммировав далее результат по К
и учитывая соотношение
(6.14.24), найдем
" Р° 12 ^ ~ mKL> KL~ У К, К - И ["В*. z]-hi2 +
+ Z0B [0?Ада + Ф, zz + РФ, zzllS; (6.14.45)
здесь К, Ь = Х, У, символ А обозначает двумерный лапласиан* введенный в
(6.14.17). Сложив уравнения (6.14.42) и (6.14.45)* получим
роh (да - -JJ Ада) = mKL> KL -
- ов [2ц^, z - Z(0BAw + ф, zz + V-ф, zz)]-hj*2> (6.14.46)
здесь К, L = X, У. Подставив теперь выражение (6.14.21) в
(6.14.43) и определив изгибную жесткость 3> соотношением
3> = Eh3/[ 12(1-v2)], (6.14.47)
где Е - модуль Юнга (см. выражения (2.11.29)), найдем
Шхх = - (да, хх + vzfl уу), myY = - 3>(wtyy + vwtXX), (6.14.48)
mXY = - (\-v)2)wtxY-
Подставив выражения (6.14.48) в (6.14.46) и заметив, что вклад
"вращательной инерции", представленный слагаемым с Aда, обычно
пренебрежимо мал, мы приходим к уравнению для да следующего вида:
p0hw + 3)А Ада + R - 0, (6.14.49)
где
Rs0В [2рф,z - Z (0? Ада + ф, zz + jxf zz)tt% (6.14.50)
Внимательно рассмотрев это выражение для последнего слагаемого в
уравнении для да, обнаруживаем, что фоновое поле магнитной индукции 0В
проявляется исключительно как поверхностный эффект\ К уравнению (6.14.49)
необходимо присоединить граничные условия на контуре С пластины. Ситуация
несколько усложняется, когда эти граничные условия имеют статически
допустимый тип, так как тогда вдоль контура могут действовать магнитные
моменты сил. В общем случае эти магнитные моменты малы по сравнению с
механическими и ими можно пренебречь. Магнитные сдвиговые силы, однако,
не являются малыми.
§ 6.15. Магнитоупругий изгиб круглых пластин
423
§ 6.15. Магнитоупругий изгиб круглых пластин
Рассмотрим задачу о стационарном изгибе круглых упругих пластин из
мягкого ферромагнетика, помещенных в поперечное магнитное поле. Нужно
определить критическое значение исходного магнитного поля, когда
появляется первая мода изгиба. Эта задача решалась в работах [Van de Ven,
1975; Parkus, 1979; Goudjo, Maugin, 1983], в которых исходные уравнения
(типа тех, которые даны в § 6.14) несколько отличались друг от друга.
Здесь мы для иллюстрации решим эту задачу об устойчивости для пластинки,
жестко закрепленной вдоль своего контура С = {г = а}, так что она может
изгибаться осесимметричным образом 1}. Нам нужно решить уравнения
3)AAw-\-R = Q для (I, 7)еД (6.15.1)
&Ф + Ф, zz = 0 Для \Z\<h/2, (6.15.2)
Аф + Ф, zz = 0 Для \Z\>h/2 (6.15.3)
со следующими граничными условиями и условиями в бесконечности:
РФ, z - Ф, z = 0, ф>г - Ф,г = %ой(r), г на | Z | = /г/2, (6.15.4)
¦ф-^-0 при |Z|-"-oo, (6.15.5)
w = 0, ш)Г = 0 при г = а\ (6.15.6)
здесь г - радиальная координата, а А- двумерный лапласиан в плоскости (X,
Р).
Из-за предполагаемой осевой симметрии изгиба пластины попытаемся найти
решение в виде
w,r{r) = AJl (аг), ф(г, Z) = 0BC(Z)J0(ar), (6.15.7)
Ф (г, Z) = 0BD{Z)Jq (аг),
