Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
случая жестких ферромагнетиков* с тем исключением, что К заменено на Я в
определении характерного размера
ьв = (----------А---------Y/2. (6.13.33)
Последний есть не что иное, как толщина, или характерная длина, введенная
в работах [Motogi, Maugin, 1984а, b] при исследовании магнитоупругих
колебаний малой амплитуды стенок Блоха. Эта толщина меньше, чем в случае
жесткого ферромагнетика, из-за влияния через магнитострикцию внутренних:
деформаций, создаваемых состояниями с однородной намагниченностью в
бесконечности. Исследование случая с внешним полем можно найти в работе
[Maugin, Miled, 1986].
412
Гл. 6. Упругие ферромагнетики
В. Магнитоупругая стенка Нееля в тонкой пленке
Анализ значительно усложняется, когда поворот намагниченности при
переходе через стенку происходит в основном по неелевскому типу. Именно
это происходит в тонких ферромагнитных пленках с толщиной Т, шириной W, W
;> Т, неограниченно простирающихся вдоль оси х (рис. 6.13.1).
Согласно анализу Нееля [Neel, 1955], размагничивающее поле определяется
по формуле
Hd= ~(jfnMsax, 0, -АзМзЪ), (6.13.34)
где
^• = TTT- -^33 =о-%Т; (6ЛЗ-35>
N ' N ¦
здесь для учета эффектов размагничивания пленка была уподоблена однородно
намагниченному цилиндру с эллиптическим поперечным сечением с главными
осями Dm и Т. Величина Dm имеет порядок бм=л/^/К- Внутри стенки с учетом
слабого дополнительного отклонения плоскости ф, удовлетворяющего условиям
(6.13.13), имеем
а = аНеель (sin0, COS0, Ф). (6.13,36)
При преобразованиях будем предполагать, что
ЛРзз"^,, и К) В,"./*9,,. (6.13.37)
Тогда из уравнений (6.13.3) получаем
= -Jr(cos2e),
д2и д2и 1 д
-di^--cT^- = + J В№ -1Г (sin 20), (6.13.38)
d2Uz_ _ д2иг _ Q
dt2 т dx2
Таким образом, в отличие от случая Блоха компоненты упругого перемещения,
параллельные плоскости пленки, благодаря магнитострикции оказываются
связанными с углом поворота 0. Длинная цепочка преобразований,
аналогичная таковой в случае Блоха, приводит к следующему уравнению для
0, когда ф уже исключено [Maugin, Miled, 1986]:
г Го 9 \-i d20 /, d20 1 . OQ\
(•^зз^м) dt2 ( дх2 2 ^ Sln J ~
= Blexx sin 20 + 2B2exy cos 20, (6.13.39)
где
"м = yMs,
2 B2,M\ T
K = K + JTn-2 Bl^ = jC+-^+__
(6.13.40)
§ 6.13. Магнитоупругие солитонные волны 413
(6.13.41)
Проведем следующее обезразмеривание, положив (бn = ^/K) Х - х/дн, т =
t&M, (c)м = Jf ззК(r)м,
См = блг(c)д(, v\ = ell См, V Г = Ст/СМ>
Ms IК Мс Гк
их = и-Л Л/-5-. uu = V ~ <4 -яг,
V 2р г/ (О V 2р
"м т е
^ - I to tin 5лМп
<х = (2рД) 1/2-г1-5-. Р = (%1рК) ~r~Y~
(6.13.42)
Тогда уравнения (6.13.38) i,2 и (6.13.39) приводят к следующей нелинейной
гиперболической системе уравнений с дисперсией (Ф = 20):
дЮ ,72 d2U д . v
Эт2 L ах2 ~ "ах (cos<p)'
а2У П2 d2V а д , . ч 10 Иоч
(6.13.43)
а2ф а2ф . . / ди . , а ду
дх2 дХ2
+ sin ф - - (a -|j- sin ф + Р cos ф)
(6.13.44)
совместно с предельными условиями
ф-"-0 (по модулю 2я), dU п dV п , у,
~дТ~*0' Ж'>0 ПрИ l^l'"'00-
Показано [Maugin, Miled, 1986], что задача (6.13.43),
(6.13.44) допускает устойчивые точные (в полной форме) нестационарные
решения в виде солитонной волны, т- е. сигнал с конечной амплитудой
распространяется без изменения своей ¦формы, а его амплитуда зависит от
скорости. Действительно, для нестационарных решений, зависящих только от
фазовой переменной ? = QX - Qt + ?q, |0 = const, Q2^Qt~VtQ2 и Q2 ф ф q\ =
VlQ2, показано, что решение системы (6.13.43) переходит в решение
следующего нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения:
(Q-¦-Q2)-||r - 8Шф + 2;(0, ф)зш2ф = 0, (6.13.45)
где
QT - ciQ2, cl - с\ (1 - вм), 8м - а Iс\,
}2_ о? V'2
(6.13.46)
/Q2_n2\i/2
a=(if=S ¦ Q=a/A¦ Q=QIA-
414
Гл. 6. Упругие ферромагнетики
Здесь tL - скорость распространения продольных упругих волн, уменьшенная
вследствие магнитострикции. Для предельных
Рис. 6.13.2. График псевдодисперсионного уравнения для уединенных волн в
упругих ферромагнитных пленках (движущиеся стенки Нееля).
условий, а также при предположении, что точки (Q, Q) принадлежат ветви
(а) псевдодисперсионной кривой
Q) = (о2 - о!) (О2 - Ог}+ P2Q2 = 0. ,0
й-tf-!, <6'1М8>
расположенной ниже биссектрисы первого квадранта (рис. 6.13.2), можно
найти устойчивое решение в виде солитонной волны с поворотом 0 по часовой
стрелке (при увеличении х) в форме
в (!) = у + arc tg [--=4==-], с = Q/Q, (6.13.49)
а соответствующие безразмерные компоненты перемещения и напряжения
определяются формулами
1-2 Ы'2 Г .-21
V(\)=U о +
aQ
v(r)=v,-a,
2 PQ
(6.13.50)
§ 6.14. Уравн., описывающие магнитоупругие ферромагнитные пластины 415
v M_dU 2aQ 0_- 2?)
(")
d\ [(1 - 2?) + sh2 g] (Q2 - Q?) '
2"(6)
dV _ 2PQ(1~2^)^2 shj
gXK*' d% (Q2-Q|) (i-2g) + sh2|
(6.13.51)
где a± = (4g-l)±2[2S(2S-l)]1/2.
Решение (6.13.49) - (6.13.51) является полным. Поэтому можно утверждать,
что движущуюся неелевскую стенку в тонкой пленке из упругого
ферромагнетика можно представить в виде солитонной волны по ф и
продольной и поперечной компонентам упругого перемещения; поперечная
