Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
Решение задачи (6.11.12) - (6.11.16) довольно длинное, поэтому мы здесь
остановимся только на главных моментах и приведем основные результаты
[Maugin, Hakmi, 1985].
При а = ±1 условие разрешимости системы (6.11.15) для амплитуд требует,
чтобы
Q [(й2 - XtQ) (Q2 - Qsv) - epSQ] = 0,
где Qsv - частота объемных спиновых волн, определенная уравнением
(6.10.13). Поэтому либо Q = 0, что при о=±1 дает только один допустимый
корень, удовлетворяющий уравнению (6.10.9) 1, т. е. корень вида
q2= - iqu q{> 0, (6.11.17)
либо _
Q = Q2 (Q2 - Oiv)Ar (Q2 - Qiv) (6.11.18)
совместно с условием
Qiv - Qsv - едр. < Qsv, р. = &/Яг. (6.11.19)
Уравнение (6.11.10) имеет корень, удовлетворяющий условию (6.10.9) j и
равный [Maugin, Hakmi, 1985]
400
Гл. 6. Упругие ферромагнетики
здесь точки (Q,qi) должны находиться в незаштрихованной области S>i U
<2)п плоскости Q, ql на рнс. 6.11.1, а
SDv (Q, qt) = (й2 - Or) (Q2 ~ Qsv) - "рцОг =
= Q2 (&2 - Qtv) - Йг (Й2 - Qtv); (6.11.22)
таким образом, i?>v(H, qi) = 0 есть не что иное, как дисперсионное
соотношение для взаимосвязанных объемных магнитоупру-
Рис. 6.11.1. Допустимая область (незаштрихованная) дисперсии для
поверхностных магнитоакустических волн с учетом взаимодействия.
гих волн в ферромагнетиках, распространяющихся под прямым углом к
фоновому полю [Maugin, 1976b].
Полное решение в виде поверхностных волн (6.11.12), которое должно
удовлетворять граничным условиям (6.11,16), является линейной комбинацией
решений, соответствующих двум возможностям (6.1117) и (6.11.20) для q2
или &2. Применяя К такой линейной комбинации условия (6.11.16), найдем,
что результирующая система уравнений для амплитуд имеет нетривиальное
решение тогда и только тогда, когда выполняется следующее дисперсионное
уравнение для взаимосвязанных поверхностных магнитоупругих волн:
Q - Q;
SV
H'-TbxWbrY'-* (6-и-23)
§ 6.11. Отсутствие взаимности Поверхностных волн 401
здесь мы положили
А = {spb/f) Хт,
D(a?) = (aQ + Q?)(oQ-Qj), (6.11.24)
Qf = j [(S + Qsv)1/2 т 5] = у ^ $ + 2)11/2 т $ > °>
a Qde - частота Деймона - Эшбаха, определенная уравнением
(6.10.17). Установлено, что
Qе Йв < Qsv- (6.11.25)
Роль характеристических частот Qf можно продемонстрировать следующим
образом. Пусть йу" и йуг- пара решений
"объемного" дисперсионного уравнения iZ5y(Q, q{) = 0, т. е.
а2,,., = т ("Iv + %) ± [т Ф - °Iv)! + *,№т]т ¦
Тогда из определения D(crQ) (6.11.24) следует (D = 0 как для о = - 1 и Q
= й?, так и для а - +1 и Й = йв, так что Qf = = йв (о = ± 1). Если D = 0
и точка (й. 91) лежит на дисперсионной кривой, т. е. является решением
уравнения (6.11.23), то из последнего соотношения получаем
"2 /Q±1 _ (й1)2 [(ДВУ ~ ^Svi /j j , 26.
Таким образом, точки (Qf, <7! (Qf)) на плоскости (Q, qi) принадлежат
одновременно к вещественным дисперсионным кривым, которые являются
решениями уравнения (6.11.23), и к предельной кривой Qin допустимой
дисперсионной области, так как q2 в этих точках обращается в нуль и
рассматриваемая волна, строго говоря, уже не является поверхностной. Это
есть точки пересечения дисперсионной кривой с предельной кривой Qvi(^i),
а фактически верхние предельные точки в частотном диапазоне для нижней
ветви (LB) дисперсионной диаграммы. Асимптотический анализ позволяет
найти длинноволновые пределы решений уравнения (6.11.23). Если о - -1,
то, как установлено, при больших q 1 величина Q асимптотически подходит к
QD? снизу. При сг = -(- 1 асимптотическое поведение Q определяется
выражением
й2(о = +1; У\ -* 00) =
-аЦ^УЬ 4,°Л?-тЧ, v(6.11.27"
\ ^SV / 1 (^DE ^г) (°Г Qsv) J
26 Ж- Можен
402
Гл. 6. Упругие ферромагнетики
так что Q(a = +1) подходит к Qr сверху, когда qx стремится К
бесконечности. Наконец, при <71 =0 уравнение (6.11.23) дает Q(<71=0) = 0
или Qsv для о=+1 и a = - 1, а также (dqi/dQ) {q\ = 0) = 00, так что
верхняя и нижняя дисперсионные ветви выходят горизонтально из точек (0,
Qsv) и (0, 0) соответственно.
Это качественное рассмотрение позволяет изобразить схематически
дисперсионную диаграмму на рис. 6.11.2. На этом рисунке для наглядности
расстояния между ветвями и кривыми
J2
Рис. 6.11.2. Дисперсионные кривые для поверхностных магнитоакустических
волн с взаимодействием при ортогональной ориентации исходного магнитного
поля (в пренебрежении обменными силами); а=-|-1-волны, бегущие вперед; а
= - 1 - волны, бегущие назад.
сильно увеличены. Как для a = -j-l, так и для а = -1 нижняя дисперсионная
ветвь, фактически имеющая упругую природу SH-типа, существует до
определенной частоты (q! и Qe соответственно), после которой мода
вырождается в сдвиговую волну вдоль поверхности кристалла. Верхняя
дисперсионная ветвь, хотя и начинается в обоих случаях из точки отсечки
Qsv, имеет очень разное поведение при больших qx (малые длины волн); при
о = +1 она ведет себя как упругая SH-волна, а при о =-1 она стремится к
"магнитостатической" однородной магнонной моде Деймона - Эшбаха. В этой
верхней моде реализуется максимальная групповая скорость (точка перегиба)
