Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
(6.2.66)). Рассмотренный пример (6.6.59) показывает, насколько сложными
могут быть механические граничные условия, когда учитывается изменение
направления нормали. Условия на граничной поверхности (6.6.59) - (6.6-62)
будут использоваться в § 6.10 и 6.11.
§ 6.7. Магнитоакустический резонанс
Уравнения (6.6.56) и (6.6.57) демонстрируют взаимодействие между малым
упругим перемещением и и динамической намагниченностью д, как это и
следовало ожидать на базе статистики Бозе - Эйнштейна. Говоря более
точно, имеется эффект взаимного возбуждения между магнонами (спиновыми
волнами, см. § 1.7) и фононами (акустическими волнами)-эффект
магнитоакустического резонанса, открытый в работах [Kittel, 1958а, Ь;
Spencer, Lecraw, 1958; Ахиезер и др. 1958]; мы собираемся
продемонстрировать этот эффект на феноменологическом уровне. Для этого
рассмотрим решения в виде плоских гармонических волн линеаризованной
системы уравнений для объема материала, полученной в § 6.6, т. е. решения
вида
(u, h, д) = (и, h, д) ехр [г (k-г - со/)], (6.7.1)
где к - волновой вектор и ю - круговая частота. Пусть координатная ось г
направлена вдоль направления d вектора до. Обозначим через Аг и Ах
компоненты векторного поля А вдоль оси г ив плоскости (х, у),
ортогональной d. Тогда
V = Vx + d-^ = Vx + dD,
_ - (6.7.2)
h = h х + М, u = Ux + M> Д = Рх + М-
384 Гл. 6. Упругие ферромагнетики
Однако, в силу равенства (6.6.47),
Р± = Р, т- е. рг = 0. (6.7.3)
Таким образом, уравнения (6.6.54), (6.6.57) и (6.6.38) эквива-
лентны следующей системе уравнений:
Ро dJf2 - MoDhz + (С, + С6) (Vх • Z)ux) + (С2 + С4) V2mz +
+ (С, + С3 + Св + С6 + С7) D2uz + р0М0/ (Vx • р), (6.7.4)
д2и ,
Ро = M0Dhx + С,(Vx • ux) + (С, + С3) Vx (0н2) +
+ C2V2ux + C5D2 ux + poMo/Dp, (6.7.5)
= YPod X [hx - p05p - fM0Du± -
-M0(b + f) Vx"2 + 7PovV + A-poZ^u], (6.7.6)
VxXhx = 0, (6.7.7)
Vx ¦ hx + Dhz + p0Vx • p - M0(V± • Dul + D2hz) = 0. (6.7.8)
Удобно ввести так называемые круговые компоненты их и р в плоскости (х,
у) соотношениями
м* = их± iuy, р* = р* ± iiiy. (6.7.9)
Подставив пробное решение в уравнения (6-7.4) - (6.7.8), после некоторых
преобразований найдем следующие уравнения для амплитуд й±, йг и р*, когда
к параллельно d:
[&l(k)-a>2(k)]Uz = 0, (6.7.10)
[ю| (/г) - со2 (Л)] й* = - ik (ерр0с|)1/2 р*, (6.7.11)
[со(&) - a>s(k)] \i± = ±ik<i>M(spe2T/p0)li2u±; (6.7.12)
переменные Лх = 0, h = (hz, 0, 0) из этой системы были исключены. Здесь
введены следующие определения:
co2=c2fe2, с\ - с\{\ + е^), (6.7.13)
(r)2=c2k2, 4 = с2( 1+еГ), (6.7.14)
(r)s = (r)A1[(^ + ?i)fe2-f&], (c)л! = уЛГ0 = YPoPo, (6.7.15)
CL = Ро ' [К+ 2Ре + ("1 + 4"2 + <%)]' СТ = Ро"1 (Ре + а2)>
= [(<1 + ЯК + (3/ + Я + dul)} МЦс\, (6J-16)
ет = - bM2jc2T, гр = fM2/p0c2. (6.7.17)
Последняя величина называется коэффициентом магнитоупругого
взаимодействия.
§ 6.7. Магнитоакустический резонанс 385
Уравнения (6.7.10) - (6.7.12) допускают нетривиальные решения йгф0 и (м*
ф 0, р* ф 0) тогда и только тогда, когда имеют место следующие
дисперсионные уравнения:
S>L(e>, k) = &l - со2 = 0, (6.7.18)
&>f (со, k) - (ю2 - й|) (ю + ю5) =F гр(r)м<?>\ = 0; (6.7.19)
здесь первое уравнение относится к продольным (чисто) упругим волнам, а
второе с верхними знаками - к волнам с так называемой правой круговой
поляризацией, а с нижними знаками - к волнам с левой круговой
поляризацией. Последние-смешанные магнитоупругие волны. Действительно,
для продольной упругой компоненты уравнение (6.7.18) дает
сp=±cLk (6.7.20)t
в зависимости от направления распространения недиспергирующей продольной
упругой волны, скорость которой изменилась из-за наличия М0. Уравнение
(6.7.19) с верхними знаками при учете того факта, что ер - малый параметр
(порядка 10~4- 10~2 для сильно магнитострикционных материалов, таких, как
никель и YIQ), дает следующую частоту слегка диспергирующей моды:
(c) (k) " а>Г (k) | 1 - еР 2 [&т (*) + ffls (й)] }' (6.7.20)*
Соответствующая дисперсионная кривая мало отличается от прямой линии с
угловым коэффициентом ст и лишь только для относительно малых волновых
чисел (длинные волны). Наконец в случае магнитоупругих мод с левой
поляризацией, описываемых уравнением (6.7.19) с верхними знаками, имеет
место эффект магнитоакустического резонанса; здесь следует рассмотреть
несколько случаев.
(i) еР&т (k) -С | cos (k) - &т (k) I, т. е. достаточно далеко от точки
магнитоакустического резонанса ((c)*, k*), определяемой из соотношения
tt>r(fc') = cos (k') = (c)*, (6.7.21),
в этом случае уравнение (6.7.19) имеет два приближенных решения:
со,(k) ~ со*(*) \ 1 + ер -/Т'-гЛ L ((r)s - (r)r) J
C0,I {k) (c)Г (?) ? 1 SP ((0S - &T) J '
(6.7.21)*
Первое из этих решений очень близко к чисто магнонной ветви, описываемой
уравнением (6.7.15), а второе - к поперечной ветви с левой круговой
поляризацией.
25 Ж. Можен
386
Гл. 6. Упругие ферромагнетики
(и) В окрестности точки магнитоакустического резонанса два приближенных
корня уравнения (6.7.19) имеют вид
