Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
деформаций, но с конечной намагниченностью в результате появления
спонтанной намагниченности. При проведении линеаризации относительно Же
слабые поля будут варьироваться так, как если бы среда приобрела
достаточную степень анизотропности, чтобы дать возможность проявиться
интересующим нас эффектам. В качестве награды за некоторые усложнения мы
можем начать с рассмотрения
374 Гл. 6. Упругие ферромагнетики
материалов, имеющих меньшую степень симметрии в ЖR, но для иллюстрации
этого достаточно изотропности. Диссипативные процессы, обсуждавшиеся в §
6.5, мы здесь проигнорируем. Они будут снова введены в надлежащем месте в
§ 6.9.
Итак, соберем вместе все необходимые уравнения для непроводящих
ферромагнетиков, намагниченных до насыщения, я рамках квазимагнитостатики
и условии изотермичности процессов. Внешняя сила f считается
отсутствующей.
(а) Полевые уравнения в регулярной открытой односвяз-щой области Bt
Уравнение сохранения массы
р + pV • v = 0. (6.6.1)
Балансное уравнение для импульса
pv = div t + tem (6.6.2)
совместно с соотношениями
fem = р (VB) • ц = (М • V) Н + V с/2м2), (6.6.3)
t = t? - рВ^ 0 ц. (6.6.4)
Уравнение прецессии спина
и = Уи X Heff (6.6.5)
совместно с соотношением
Hetf=H + B^ + p-'divtf. (6.6.6)
Уравнения Максвелла
7 X Н = 0, V • В = 0. (6.6.7)
(b) Граничные условия на поверхности dBt (предполагаемой неподвижной):
n-t = t(", + n-[tem], (6.6.8)
п • $ + = 0, (6.6.9)
n X [Н] = 0, п ¦ [В] = 0. (6.6.10)
(c) Определяющие уравнения:
^pP-fg-pr (6.6.11)
B? = -fJJ-, (6.6.12)
J = 2pFi^(V*uf, (6.6.13)
¦ф = т|) (Е, m, М, 90 = const) (6.6.14)
§ 6.6. Уравнения, линеаризованные относительно ферромагнитной фазы 375
совместно с соотношениями
Е = '/г (FrF - IR), m = F7)*, M = (7*ц) • (ЗДГ.
Кроме того, для нелинейных материалов, изотропных относительно Жр,
справедливы уравнения (6.4.31), (6-4.32). Как и в; § 2.15, чтобы провести
лагранжево варьирование уравнений относительно Ж и нам сначала нужно
выписать полевые уравнения в материальной формулировке. Следуя работе
[Maugin, 1979а] г введем полевые величины
TKi = JXK,,tih (6.6.15)
Обратные соотношения имеют вид
tji = J lx} KTKi, $ц - 1 x^K$Ki, (6.6.16)
так что с учетом (2.2.53) и правила дифференцирования слож-
ной функции
tji = J hrKi,K, Р Ро &Ki,K> (6.6.17)
где с учетом уравнений (6.6.4) и (6.6.11) - (6.6.13) имеют место
равенства
кг Ро(^ дЕ". xi,L + дшк ^ )'
Я. я. (6.6.18)
Bk = -xk,K-d^> ^кг = 2Ро
Теперь уравнения (6.6.2) и (6.6.5) переписываются в покомпонентной форме:
рпх, - Т. + //Г.
н0 г кг, к ' (6.6.19)
М-г - Yег/^Р/ "Ь Bk "Ь Po^Kfe, к)-
Заметим также, что
Лет = ро [(ц • V) Н + n2Vp + р (?ц) • р]. (6.6.20)
Аналогичное преобразование необходимо провести с граничными условиями
(6.6.8) и (6.6.9). Здесь мы будем следовать работе [Maugin, Hakmi, 1984].
Заметим, что в магнитостатике
tfT - НjBt -f- (V2B2 - РП ¦ В) Bl = Hi + рц,-; (6.6.21)
это соотношение с учетом граничных условий (6.6.10) позволяет показать,
что
п • [tem] = Vs {Ы'п* - [В]} п = - >/2 [(pji)f *]2 П ^ Q (6.6.22)
здесь индекс "int" указывает на значение величины при подходе к границе
dBt изнутри (inside) тела, а также что это есть
¦376
Гл. 6. Упругие ферромагнетики
тангенциальная компонента на dBt(t). Предполагалось также, что среда вне
тела ненамагниченная. Действуя, как и в § 2.7, получим материальную
формулировку условий (6.6-8) и (6.6.9) :в виде
N-T = ^(t(") + t^), (6.6.23)
K^Kfe -0> (6.6.24)
где N={./Vk}-единичная внешняя к dBt нормаль в конфигурации Ж R.
.В. Стационарное решение для недеформируемого тела
Предположим, что все полевые величины не зависят от времени; будем искать
решение для недеформируемого тела Л, соответствующее состоянию с
пространственно однородной намагниченностью в присутствии внешнего
стационарного сильного магнитного поля Н0. Все полевые величины,
относящиеся к этому состоянию, будут обозначаться правым индексом нуль.
Пусть Мо=рц0 - соответствующая объемная плотность намагниченности с р =
р0 = const. Решение для недеформируемого тела соответствует градиенту
перемещения F = R, где R - пространственно однородный тензор поворота.
Без потери общности можно считать R = \R. Тогда имеем
F = Ir, Vp = 0, Vp0 = 0, V др0 = 0 (6.6.25)
во всех точках х внутри тела <Мо- Уравнения (6.6.25) удовлетворяются
тождественно, так как В0= Н0 + №0 и УВо= 0. Мы, следовательно, имеем fem
= 0, й (6.6.14) сводится к выражению ф = ф(0, р0, 0, 0о) в силу первого и
четвертого уравнений (6.6.25), так как, очевидно, Е0 = 0 и М0=0 Таким
образом, имеем
"•**>
Bf..,=-(eiC%:)>.,=0- <6-6-27"
•Следовательно, уравнение (6.6.2) удовлетворяется тождественно, так как
все его члены равны нулю. Остается удовлетворить уравнению прецессии
спина (6.6.5) в стационарной форме, т. е. уравнению
p0X(HW + B0t) = 0, (6.6.28)
так как &о =0, что легко устанавливается из (6.6.13) и четвертого
уравнения (6.6.25). Здесь Н0(г) - внутреннее магнитное поле, учитывающее
форму тела, т. е. учитывающее эффект размагни-
