Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
уравнения:
tso = T)j (tr D) I + 2r)2D, (6.5.7)
BD = - ртш. (6.5.8)
Здесь Гр и г]2 - коэффициенты вязкости, а т имеет размерность
времени. Условие неотрицательности диссипативной функции Ф требует, чтобы
эти материальные постоянные удовлетворяли неравенствам
3rii + 2% ^ 0> 'Пг^О. т^О. (6.5.9)
Определив релаксационный член R и вязкую силу соотно-
шениями
R s YP X В°= - рутц X *п, (6.5.10)
== div tSD (6.5.11)
и заметив, что
(PB^.1)^(2y)~'(VXpR)i, (6.5.12)
мы можем выписать уравнение Эйлера-Коши (6.2.33) и урав-
нение прецессии спина в виде
pv = divt* + f + fera + Г- (2у) 1 (VX pR), (6.5.13)
P = YP X*Heff+ R, (6.5.14)
где
¦V^H + B^-fp^divtf. (6.5.15)
В последнем выражении без потери общности мы заменили В на Н и
соответственно будем называть эффективным магнитным полем полученную
суммарную (термодинамически обратимую) полевую величину, которая в
отсутствие диссипации характеризует скорость прецессии спина,
определяемую по
24 Ж. Можен
370
Гл. 6. Упругие ферромагнетики
уравнению типа (6.2.41). Рассматриваемая теория в форме уравнений (6.5.3)
- (6.5.15) впервые получена Моженом [Maugin,.
1975].
Нужно подчеркнуть, что, хотя определяющие уравнения
(6.5.7) и (6.5.8) разделились, полевая величина, ответственная за
затухание, или релаксацию магнитного спина к текущему направлению *НеП,
очевидно, фигурирует и в уравнении движения Эйлера-Коши (6.5.13). Таким
образом, как и предсказывалось, затухание прецессии спина, обусловленного
спин-ре-шеточными взаимодействиями, будет частично ответственно за
затухание упругих волн. Можно также заметить, что несмотря на линейность
определяющих уравнений (6.5.8) релаксационный член R нелинеен и между
обеими частями уравнения
(6.5.14) имеется что-то вроде обратной связи. Этот факт следует из
самой формы уравнения гироскопической прецессии. Как иметь дело с таким
осложняющим членом, разъясняется ниже.
Перед тем как приступить к этому, отметим, что явление релаксации спина,
как это легко видеть, совершенно аналогично явлению затухания
механического гироскопа в воздухе. Действительно, если гироскоп,
приведенный во вращение, подвесить на длинной нити и направить его ось
под углом к вертикали и затем отпустить, то он начнет прецессировать
вокруг вертикали, т. е. вокруг направления силы тяжести. Для "магнитного
гироскопа", рассматриваемого в этой главе, роль силы тяжести играет
эффективное магнитное поле ЛНеИ. Но, как будет видно, прецессия гироскопа
будет идти по спирали с постепенно уменьшающимся углом прецессии до тех
пор, пока ось гироскопа не станет вертикальной. Здесь затухающие силы
обусловлены трением о воздух. В случае магнитного спина причины затухания
на микроскопическом уровне не так очевидны. В качестве такой причины в
предшествующем феноменологическом анализе была выдвинута спин-решеточная
релаксация. Релаксация из-за спин-спиновых взаимодействий также могла бы
проявиться в уравнениях, если бы мы рассмотрели случай ненулевого 38°
[Maugin, 1972]. Таким образом, эффект движения магнитного спина по
спирали обусловлен чем-то вроде трения.
Здесь можно дать объяснение и на базе теории стохастических процессов.
Рассмотрим случай абсолютно твердого стационарного образца
ферромагнетика. Тогда R == (ут/р) М X М.
Тепловые флуктуации стохастической природы могут привести к появлению на
феноменологическом уровне случайного магнитного поля Hrand с нулевым
статистическим средним [Brown, 1959]. Тогда уравнение (6.5.14) без
релаксационного члена
§ 6.5. Основные диссипативные процессы
371
должно быть модифицировано:
М = - y (*Hetf + Hrand) X М. (6.5.16)
Это уравнение можно было бы назвать уравнением Ланжевена для прецессии
спина. Но как хорошо известно в теории броуновского движения, случайная
сила, действующая на броуновскую частицу, необходимо приводит к появлению
в уравнении движения силы трения - факт, выражающий очень общий закон
природы (чтобы с ним ознакомиться,. обратитесь к флук-туационно-
диссипативной теореме). Возможное выражение для члена с трением для
уравнения (6.5.16) было предложено Гильбертом [Gilbert, 1956]. Этот член
имеет тот же вид, что и R, т. е. уравнение (6.5.16) заменяется уравнением
М = - у (*Heff + Hrand) X М + утМ X М. (6.5.17)
Сила трения определенным образом связана со случайным полем Hrand при
помощи флуктуационно-диссипативной теоремы статистической механики.
Однако по сравнению с известной теорией броуновского движения свободной
частицы или гармонического осциллятора исследование броуновского движения
/
спинов наталкивается на некоторые затруднения. Причиной этому является
квазилинейная структура уравнения (6.5.17). Простой гармонический анализ
здесь нельзя применить, так как намагниченность в общем случае нелинейна
по случайному полю Hrand [Kubo, Hashitsume, 1970]. Даже если процесс
генерации Hrand гауссов, т. е. относительно прост, уравнение (6.5.17)
трудно разрешить. Однако, если отбросить случайное поле Hrand, то уже
знакомое уравнение (6.5.17) будет описывать приближение М к йНеП
