Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
объясняется тем, что центрированные простые волны с линейными
расходящимися с течением времени характеристиками необходимо являются
волнами расширения: величина /1 и угол наклона линейной характеристики в
начале координат растут одновременно, так что значение fi на
характеристике с наибольшим наклоном больше значения fi на характеристике
с наименьшим наклоном.
Этот результат, а также тот факт, что в гуковских материалах все ударные
волны, удовлетворяющие условию неубывания энтропии, являются волнами
уплотнения, показывают, что описанная выше комбинация волн - быстрая
ударная волна, сопровождаемая медленной центрированной простой волной,
имеет желаемое поведение для случая, когда амплитуда мала. Представление
нелинейного решения в виде ряда по малой амплитуде можно найти в
оригинальной работе [Bazer, Ericson,
1974]. Поведение решения для Д и В2 схематично изображено-на рис. 5.14.3.
На этом закончим исследование распространения волн в упругих проводниках.
§ 15.5. Устойчивость токонесущих упругих структур
А. Пример упругого стержня
В качестве простой иллюстрации рассмотрим задачу о равновесии нелинейно
упругого проводящего стержня, находящегося в магнитном поле независимого
источника. Стержень предполагается идеально гибким; он закреплен в
натянутом состоянии между двумя неподвижными опорами А и В; расстояние
между опорами b больше естественной длины стержня I. Пусть {е<} -
декартовы базисные векторы. Магнитная индукция Во направлена параллельно
ез; через стержень течет ток. Пусть х(-Х)- положение точки стержня в
деформированном (не прямолинейном) состоянии (Ь) (рис. 5.15.1), где X -
лагранжева координата; Хе[0,/]. Единичный тангенциальный вектор т к
деформированному стержню определяется формулой
= v(*H?|. (5Л5Л>
§ 5.15. Устойчивость токонесущих упругих структур
327
где v(X) - величина растяжения. Очевидно, ток J направлен по касательной,
поэтому
J = /
dx
dX
Iv(X) t(X).
(5.15.2)
Электромагнитная сила, обусловленная этим током, имеет величину
fera = 4-JXB0 = 7/v(X)B0TXe3. (5.15.3)
Для рассматриваемого одномерного тела уравнение равновесия УЛТВ -f- fem =
0 имеет вид
^T(J) + fem = 0, (5.15.4)
где для вектора Т мы предлагаем следующее определяющее уравнение:
Т (X) = N (X) т (X), N(X) = N (v (X), X), (б! 15.5)
тде N(X) - это так называемое натяжение. Если ft явно не зависит от X, то
стержень однороден. Предполагая, что так оно .и есть, положим
X == IBJc. (5.15.6)
-Умножив скалярно уравнение (5.15.4) на т и е3 с учетом (5.15.5) и
(5.15.6),
.получим
dx
N'{X) = О, N • е3 = 0.
(5.15.7)
Таким образом, N постоянно и, следовательно, постоянно v, а также
т • е3 = const = cos г|з.
(5.15.8)
'Если cos ip = 1, то т = e3 и мы имеем "тривиальное" решение
х(Х) = ЬХег, (5.15.9)
(а)
Рис. 5.15.1. Неустойчивость натянутого стержня, проводящего электрический
ток, в продольном магнитном поле [Woodson, Melcher, 1968).
где b > I - расстояние между опорами. Это решение существует ..для всех
значений "контрольного" параметра X. Если, однако, предположить, что
Jcosi|)|< 1, то, как можно показать при помощи уравнения (5.15.4)
(оставляем это читателю- в качестве
328
Гл. 5. Упругие проводники
упражнения1*), что для существования решения необходимо-
vX/N = 2ят, /п=1, 2, 3.................. (5.15.10)
Таким образом, для любой пары (v, Я), удовлетворяющей этому условию при
некотором т, мы имеем однопараметрическое семейство решений, так как вся
задача, очевидно, инвариантна относительно поворота вокруг оси ез. Эта
система решений, как показано, демонстрирует классическое явление
бифуркации [Wolfe, 1983], причем Я играет роль бифуркационного параметра.
Путем рассмотрения собственных значений задачи, полученной линеаризацией
уравнения равновесия около тривиального-решения, показано, что происходит
бифуркация, сопровождающаяся переходом к нетривиальным решениям; эта
ситуация полностью аналогична классической задаче об изгибе балки.
Рассмотренная здесь задача является примером задачи об устойчивости
токонесущих структур, очень простой и не учитывающей, индуцированные
поля.
В. Другие примеры токонесущих структур
В случае более сложных объемных структур нужно исходить из полных
трехмерных континуальных уравнений, например из уравнения движения
V*T? + !//XB = p0-g-, (5.15.11)
•связанного с уравнениями Максвелла и определяющими урав-
нениями для тензора напряжений Т? и тока f. Частр можно ввести то или
другое кинематическое приближение в зависимости от формы тела, особенно
когда одно (или два) из его-измерений очень малы по сравнению с
оставшимся (или оставшимися). Таким приближением является гипотеза Лява -
Кирхгофа из теории пластин.
Легко понять, что полученная задача об устойчивости очень трудная. Тем не
менее многие работы посвящены решению этой задачи для токонесущих упругих
стержней, балок, пластин и оболочек. Характер этих работ можно передать
на примере задачи о пластине. Для пластины толщиной h вдоль оси z при
