Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
электрическое поле Е+ = = (l/c)BoXV+. Непрерывность тангенциальной
компоненты электрического поля на о означает, что Е+ = Е~ = 0, следо-
11 Полное решение в рамках линейной постановки можно найти в работе
[Bazer, 1971] и в рамках нелинейной постановки в работе [Bazer, Ericson,
1974].
§ 5.14. Задача о магнитоупругом поршне
323
вательно, в системе отсчета наблюдателя V2 = V'3 = О или У2 = = - У, У3 =
0 в неподвижной системе отсчета.
Тот факт, что спонтанное движение поршня вызовет волновое движение, можно
разъяснить при помощи следующих доводов. Напомним, что силовые магнитные
линии в бесконечно проводящей среде ведут себя как материальные линии
(см. уравнение (5.3.4)). Рассмотрим случай, когда эти силовые линии
первоначально перпендикулярны поверхности раздела &~о. Изменение силовой
магнитной линии спустя t с после начала движения магнида показано на рис.
5.14.1. Силовая линия, являясь "вмороженной в среду", спустится вдоль
поверхности магнита вниз на расстояние - Vt. В области х > 0 эта силовая
линия не изменится, за исключением тонкого слоя около поверхности раздела
?Fo, где имеется непрерывный переход от текущего к первоначальному
положению линии в области х > 0. Таким образом, в слое появляется
компонента В2 магнитного поля, которой первоначально не было. Эта
компонента В2 зависит от х с максимальным значением на поверхности
раздела, где механическая деформация наибольшая, и уменьшается до нуля на
самой правой границе слоя, где нет механического скоса. Следовательно,
внутри слоя дхВ2 < 0. Плотность тока в слое
J = cV X Н = (с/ц) V X В = (цо/с)-1 (дхВ2) е3
создает силу F -(l/c)JXB, такую, что F-e3 = 0; эта сила отталкивает слой
от стенки вниз. Именно этой силой магнитного происхождения и обусловлено
появление волнового движения.
Задача о поршне с математической точки зрения является смешанной задачей
с начальными и краевыми условиями. В момент t = 0 состояние среды есть
SQ = {B10, f0 = 0, v0 = O, Ло>- (5.14.2)
Но это начальное состояние несовместимо с требованием, что поперечная
скорость на &~0 равняется -Уе2. Именно волновое движение и разрешает эту
начальную несовместимость. Полученная задача нелинейная. При
конструировании нелинейного решения полезны вспомогательные линейные
решения (полученные на основе бесконечно слабых разрывов или в рамках
геометрической теории магнитоупругости) в том смысле, что, во-первых, они
позволяют понять, какую комбинацию волн, медленных, промежуточных и
быстрых, можно ожидать в нелинейном решении, и, во-вторых, помогают
решить, являются ли волны из этой комбинации ударными волнами или
простыми.
21 *
324
Гл. 5. Упругие проводники
Поэтому сначала рассмотрим случай, когда 9 мало, так что задача может
считаться линейной. Следовательно, здесь можно применить теоретические
результаты § 5.10. Движение поршня в момент ^=0 может рассматриваться как
источник начального возмущения
6S = {6B_l, ftf, V = -Fe2, 0} на Г0. (5.14.3)
"Ч. /S,
Величины бВх и 6f можно рассматривать как переменные, которые должны быть
определены из рассмотренных выше гра-лшчных условий. Можно представить 8S
в виде суперпозиции
Рис. 5.14.2. Задача о магнитоупругом поршне: линейное решение [Bazer,
1971].
бегущих вперед медленных, промежуточных и быстрых, мод на о:
6§ = 6Ss + &S, + 6 SP. (5.14.4)
Граничные условия требуют 6S/ = 0 и определяют интенсивности 8Ss и бSf.
Если 0о - угол, образуемый Во с еь 0 < 0о <
§ 5.14. Задача о магнитоупругом поршне
325
4&fl)s
л/2, то из уравнений (5.10.47) имеем
Wo (4 " 4) (4 ~ 4) Р
<>sBl (sin 20о) (4 - 4) _ - wo (4 - 4) (4 - 4) v
СрВ2 (sin 290) (4 - с|)
(6В) wo (4 - 4) (4 - 4) Р
s csb0 (cos е0) (4 - 4) е2'
(5.14.5)
№Р=wL4r4)j4-4)^ е2
сРв0 (cos е0) (4 - 4)
(5.14.6)
Профиль волн, разрешающих первоначальную несовместимость, дан на рис.
5.14.2. Так как 0 < 60 <я/2, то Д убывает
(Ь)
(с)
(d)
Рис. 5.14.3. Задача о магнитоупругом поршне: нелинейное решение [Bazer,
Ericson, 1974].
при переходе через быстрый фронт и возрастает при переходе ¦через
медленный фронт (ср. первые выражения (5.14.5) и
(5.14.6)), т. е. при переходе справа налево. Волновое движение можно
охарактеризовать как движение, соединяющее движение среды и магнита.
Окончательное стационарное состояние достигается тогда, когда волна ушла
в бесконечность. Среда тогда 'будет двигаться вниз с той же скоростью,
что и магнит, но уже "с тангенциальной компонентой магнитного поля,
которой ранее
326
Гл. 5. Упругие проводники
не было-, кроме того, среда теперь деформирована параллельно плоскости
{у, z), а ее плотность у стенки уменьшилась.
Линейное решение дает полезную информацию для обсуждения нелинейного
решения. Оно показывает, что имеются только медленные и быстрые волны.
Кроме того, тот факт, что (6/i) /=• <С 0 в быстрой волне и (6fi)s>0 в
медленной волне, позволяет сделать заключение, что нелинейное решение
состоит из быстрой ударной волны, за которой следует медленная простая
волна с центром в начале координат на плоскости (х, t) (рис. 5.14.3). Это
