Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
(5.13.31). В медленных волнах v2- убывающая (возрастающая) или
возрастающая (убывающая) функция в зависимости от того, вдоль
положительной или отрицательной оси распространяется волна (см. уравнение
(5.13.33)).
(v) Аналогичные результаты для быстрых волн получаются заменой слов
"медленный," "возрастающий" и "убывающий" на "быстрый," "убывающий" и
"возрастающий" в том же порядке.
(vi) Если подставим выражение для В2 (5.13.30) в уравнение (5.13.31), то
получим единственное дифференциальное уравнение первого порядка для f2
как функции fx. Решение системы уравнений (5.13.30) - (5.13.33) сводится,
таким образом, к решению одного дифференциального уравнения первого
порядка и проведению двух квадратур; последние определяют щ и v2 как
функции fi.
На этом мы закончим обсуждение общих свойств простых волн. Их подробное
рассмотрение для гуковских материалов дано в работах [Bazer, Karal, 1971;
Bazer, Ericson, 1974]. Здесь мы, следуя этим работам, просто дадим сводку
основных свойств медленных и быстрых простых волн в идеально проводящих
гуковских материалах.
(i) В быстрых и медленных простых волнах с ростом времени линии
характеристик сходятся или расходятся- В промежуточных волнах линии
характеристик параллельны.
(ii) Обозначим через Я угловой коэффициент типичной линии характеристики
в плоскости (х, /), т. е. Я = с-1, где с = ±Cf или с = +cs; тогда при
следовании через простую волну в направлении возрастания |Я| продольные
напряжения Тп и деформация fx увеличиваются, а плотность р, интенсивность
поперечного магнитного поля \В2\ и |с[ убывают. Соответственно в
медленной простой волне при движении в направлении возрастания |Я|
переменные |В2|, Тхх и fi возрастают, а р и jcj убывают.
§ 5.14. Задача о магнитоупругом поршне
321
(iii) И в медленных, и в быстрых простых волнах среда,, первоначально
находившаяся в состоянии сжатия (Гц СО), может перейти в состояние с
продольным растяжением (Гп > 0) при увеличении |А,|.
(iv) В медленных волнах |с| изменяется между ст и cL (больше л/2 ст); в
быстрых волнах |с] никогда не бывает меньше cL.
(v) Наконец, |В2| может безгранично расти при прохождении через быструю
(медленную) простую волну в направлении увеличения продольного сжатия
(растяжения).
На последний результат можно взглянуть с практической точки зрения;
простые волны в магнитоупругих средах могут дать механизм генерации очень
сильных магнитных полей. Однако в реальных материалах еще до достижения
достаточно больших значений сжатия (растяжения) или интенсивности
магнитного поля влияние пластических свойств материала, конечно, начнет
преобладать над идеально упругими свойствами материала.
Скажем еще, что простые волны в магнитоупругих средах совместно с
ударными волнами позволяют дать решение одномерных задач о
распространении возмущений с достаточно простыми начальными условиями.
Ниже это будет проиллюстрировано на примере задачи о "магнитоупругом
поршне", в которой волновое движение в магнитоупругой среде может быть
создано чисто магнитными (т. е. немеханическими) средствами.
§ 5.14. Задача о магнитоупругом поршне
Пусть полупространство х < 0 представляет собой бесконечно проводящий
абсолютно твердый магнит, служащий "поршнем"-Полупространство х > 0
является бесконечно проводящей средой с определенными гуковскими
свойствами. Магнитное поле Во, создаваемое магнитом, всюду постоянно.
Предполагается, что в отсутствие магнитных полей упругая среда может
скользить без трения по поверхности магнита, но не отделяться от нее.
Тогда у нас есть следующая задача о "поршне": в момент времени t = 0
магнит мгновенно приходит в движение со скоростью V и эта скорость
поддерживается постоянной для всех t > 0; определить волновое движение,
если оно будет, в области *>0. На основе формул, данных в предыдущих
пунктах для ударных волн и простых волн, можно численно получить полное
нелинейное решение этой задачи о "поршне". Однако мы
21 Ж- Можен
322
Гл. 5. Упругие проводники
.здесь приведем только некоторые качественные свойства этого решения для
малых амплитуд *>.
Фактически мы рассмотрим частный случай, когда поршень начинает двигаться
вдоль отрицательного направления оси у (рис. 5.14.1), а исходное поле В0
лежит в плоскости {х,у) и ни
Рис. 5.14.1. Задача о магнитоупругом поршне.
параллельно, ни перпендикулярно поверхности раздела &~0. Это означает
V = V^2, V > 0, Вд • в; =$4= О, В0 X О, В0 • е3 = 0.
(5.14.1)
Пусть V = Vaea - поле скоростей среды непосредственно справа от
поверхности &~0- Так как магнит абсолютно твердый и зазор между средой и
магнитом не допускается, то должно быть Vx == 0 при t ^ 0. Тот факт, что
B0-ei=^0, приводит к равенствам V2 =-Р и V3 = 0 для всех t ^ 0. Это
следует из того обстоятельства, что наблюдатель, движущийся вместе с
магнитом, не регистрирует никакого индуцированного электрического поля Е"
= (1/с)В0Х V", так как V- = 0 & связанной с магнитом системе отсчета,
тогда как наблюдатель, движущийся вместе со средой, обнаруживает
