Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
постоянно, тогда N = fl, а также fj. остаются неизменными поперек слоя.
Первое соотношение (5.13.19) также показывает, что слой с переменной
скоростью v - так называемый сдвиговый слой - невозможно реализовать в
идеальной магнитоупругой среде, даже когда Bi - 0. В заключение заметим,
что контактные разрывы, описанные в § 5.11, можно рассматривать как
предельные случаи контактных слоев.
С. Простые волны (с (^фО)
(а) Общий случай. Предположим, что ни срлглг, ни Bj. X fi не обращаются
в нуль тождественно в области простой волны. Тогда система уравнений
(5.13.4) - (5.13.10), описывающая изменение 9> в простой волне, принимает
вид
Вл. = т?ТГ^+тт7Г- <5лз'21>
dtL _ рх (с2 - с)) - 4фУЛ^ X (Рх X tx) dh (с2 ~ ci) {°2 ~
с/ ~ 4(Рnnn)
(5.13.22)
(5.13.23)
а/1
dY' (5.13.24)
df, " df,
т) = Ло = const, cj = 2фд, + ^oPo(7+/J • (б -'13.25)
в?
318
Гл. 5. Упругие проводники
Здесь Pj. - произвольный поперечный постоянный вектор, компонента f\
взята в качестве независимой переменной Si; с - корень уравнения (см.
(5.13.14)):
О = (с2- с]) { (с2 - ф" - реРо"Х+м) (с2 -с)- 4Ф nnN) -
-\P±?} + ^NN\P±Xi±\2 = F(c2-, 9>). (5.13.26>
Вывод системы уравнений (5.13.21) - (5.13.25) мы оставляем читателю. Из
полученной системы столь общего вида можно извлечь только несколько
результатов. Очевидно, что уравнение
(5.13.26), кубическое относительно с2, имеет шесть корней: +с\г ±Сг, ±с3
(где сь с2, с3 - положительные величины). Тогда
(i) Коэффициенты с\, с2, с3 -в общем случае непостоянные функции /ь так
что ни одна из шести простых волн не имеет параллельных
характеристических линий.
(п) Исключив Вх из (5.13.22) при помощи (5.13.21), получаем систему
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка 2X2, которая
определяет fx как функцию f\, т. е. fx = fx(/i)- Тогда и vi, и vj. можно
выразить в квадратурах как функцию /ь таким образом, как fx, так и Вх
изменяются по величине и направлению вместе с изменением f\.
(Ш) В простых волнах, распространяющихся вдоль положительного (или
отрицательного) направления оси х, величина v\ убывает (или возрастает)
вместе с /х Величины v% и у3 - всегда неубывающие (или невозрастающие)
функции fь когда величина (-cdf2/<ifi) положительна (или отрицательна);
это следует из (5.13.23) и (5.13.24).
Чтобы получить дополнительную информацию, найдем простые волны, в которых
Вх X f± == 0. Для таких волн функция F(c2\ &) имеет относительно простой
вид
F (с2; 9>) = (с2 - с2) | (с2 - q>ff - ^oPo(i'L+/1)) X
X {с2 ~ С2 - 4<!nnN) - | рх I2}. (5.13.27)
Тогда величины ±с/ являются корнями многочлена ^(с2;^*). Поэтому для
таких промежуточных простых волн правая часть уравнения (5.13.22)
является неопределенной. Чтобы получить решение для этого случая, нам
нужно вернуться к исходной системе (5.13.4) - (5.13.10)-
(Ь) Частное решение [BxXf_L =0]: промежуточные волны.
Пусть cf = ± с/ - корни первого сомножителя в правой части
§ 5.13. Понятие простых волн
319
<(5.13.27). Подставив выражения для с в уравнения (5.13.5) - (5.13.9),
можно убедиться, что наиболее общее решение такого типа в области простой
волны имеет вид
где цо - произвольный поперечный вектор. Подробное обсуждение свойств
решения (5.13-28) можно найти в оригинальной работе [Bazer, Ericson,
1974]. Здесь же мы просто отметим, что
(i) уравнения х - eft + а* (а) описывают семейства параллельных линий;
(и) величины В± и /j. постоянны, но направление как Bj., так и fj. может
меняться; (iii) движение материальной частицы в этом волновом решении
можно описать как винтовое движение, т. е. как скручивающее сдвиговое
движение, дополнительно наложенное на однородное поступательное движение
вдоль оси х.
(с) Частное решение [ВхХ^х = 0]: медленные и быстрые волны. Без потери
общности можно считать векторы В и f на-лравленными вдоль оси х%
Медленные и быстрые простые волны соответствуют корням второго
сомножителя в правой части уравнения (5.13.27), а именно
тде 7>2 = 2фЛг/2 - ^i^2/[popo(l +/i)]• Если ввести величины os и cF
такими же формулами, как и раньше, то можно сформулировать неравенства,
аналогичные (5.10.34), где строгие неравенства имеют место при Р% ф 0.
Явные выражения для Cs и ¦cF через В% /г и f\ даются формулами (5.10.31),
(5.10.32).Только ¦теперь величины В2, /г и /i должны рассматриваться как
переменные. Из общих уравнений (5.13.21) - (5.13.24) получаем для данного
случая следующую систему уравнений:
(5.13.28)
f2_L=f2±o = No, Vx = -Cff А + |10,
-р2 = 0; (5.13.29)
(5.13.30)
df2 с2 - g>ff - В^ДроРр (1 + fi)]
(5.13.31)
(5.13.32)
(5.13.33)
320
Гл. 5. Упругие проводники
а также
В3 = 0, /3 = 0, у3 = Узо, г] = т)0. (5.13.34)
Здесь с = cs или Cf в зависимости от того, является ли волна медленной
или быстрой.
Кроме уже перечисленных качественных свойств рассмотрение полученной
системы уравнений дополнительно выявляет следующее.
(iv) В области, где Р2 > 0 (или <0), /2 в медленной волне является
убывающей (возрастающей) функцией /) (ср. с уравнениями (5.13.29) и
